Номер 1145, страница 158 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1145. В основании пирамиды лежит прямоугольник с измерениями 12 см и 30 см, ее боковая поверхность равна 504 $\text{см}^2$. Найдите объем пирамиды, учитывая, что ее вершина проецируется в точку пересечения диагоналей основания.

Для нахождения объема пирамиды воспользуемся формулой:$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания.
В основании пирамиды лежит прямоугольник со сторонами $a = 30$ см и $b = 12$ см. Площадь основания равна:$S_{осн} = a \cdot b = 30 \cdot 12 = 360$ см².

2. Найдем высоту пирамиды H.
По условию, вершина пирамиды проецируется в точку пересечения диагоналей основания (центр прямоугольника). Это означает, что пирамида является прямой. Ее боковая поверхность состоит из двух пар равных равнобедренных треугольников.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ складывается из площадей этих четырех треугольников:$S_{бок} = 2 \cdot S_1 + 2 \cdot S_2$, где $S_1$ — площадь боковой грани с основанием $a=30$ см, а $S_2$ — площадь боковой грани с основанием $b=12$ см.

Пусть $h_a$ — высота боковой грани, проведенная к стороне $a$ (апофема), а $h_b$ — высота боковой грани, проведенная к стороне $b$. Тогда $S_1 = \frac{1}{2} a \cdot h_a$ и $S_2 = \frac{1}{2} b \cdot h_b$.$S_{бок} = 2 \cdot (\frac{1}{2} a \cdot h_a) + 2 \cdot (\frac{1}{2} b \cdot h_b) = a \cdot h_a + b \cdot h_b$.

Подставим известные значения:$504 = 30 \cdot h_a + 12 \cdot h_b$. Разделим уравнение на 6 для упрощения:$84 = 5 \cdot h_a + 2 \cdot h_b$. (1)

Высота пирамиды $H$, апофема и половина соответствующей стороны основания образуют прямоугольные треугольники. Для апофемы $h_a$: катеты — высота пирамиды $H$ и половина стороны $b$, гипотенуза — $h_a$.$h_a^2 = H^2 + (\frac{b}{2})^2 = H^2 + (\frac{12}{2})^2 = H^2 + 6^2 = H^2 + 36$. (2)

Для апофемы $h_b$: катеты — высота пирамиды $H$ и половина стороны $a$, гипотенуза — $h_b$.$h_b^2 = H^2 + (\frac{a}{2})^2 = H^2 + (\frac{30}{2})^2 = H^2 + 15^2 = H^2 + 225$. (3)

Выразим $H^2$ из уравнений (2) и (3) и приравняем их:$H^2 = h_a^2 - 36$$H^2 = h_b^2 - 225$$h_a^2 - 36 = h_b^2 - 225$$h_b^2 - h_a^2 = 225 - 36 = 189$. (4)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $h_a$ и $h_b$:1) $5 \cdot h_a + 2 \cdot h_b = 84$2) $h_b^2 - h_a^2 = 189$

Из первого уравнения выразим $h_b$:$2h_b = 84 - 5h_a \Rightarrow h_b = \frac{84 - 5h_a}{2}$. Подставим это выражение во второе уравнение:$(\frac{84 - 5h_a}{2})^2 - h_a^2 = 189$$\frac{(84 - 5h_a)^2}{4} - h_a^2 = 189$$\frac{7056 - 840h_a + 25h_a^2}{4} - \frac{4h_a^2}{4} = 189$$7056 - 840h_a + 21h_a^2 = 189 \cdot 4$$21h_a^2 - 840h_a + 7056 = 756$$21h_a^2 - 840h_a + 6300 = 0$Разделим уравнение на 21:$h_a^2 - 40h_a + 300 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $h_a = 10$ и $h_a = 30$. Проверим оба корня:- Если $h_a = 10$ см, то $h_b = \frac{84 - 5 \cdot 10}{2} = \frac{84-50}{2} = \frac{34}{2} = 17$ см. Это возможное решение.- Если $h_a = 30$ см, то $h_b = \frac{84 - 5 \cdot 30}{2} = \frac{84-150}{2} = \frac{-66}{2} = -33$ см. Длина не может быть отрицательной, поэтому этот корень не подходит.

Итак, апофемы равны $h_a = 10$ см и $h_b = 17$ см. Теперь найдем высоту $H$ из уравнения (2):$H^2 = h_a^2 - 36 = 10^2 - 36 = 100 - 36 = 64$.$H = \sqrt{64} = 8$ см.

3. Найдем объем пирамиды.
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 360 \cdot 8 = 120 \cdot 8 = 960$ см³.

Ответ: 960 см³.