Номер 1142, страница 158 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1142. В основании пирамиды лежит ромб с периметром 100 см и диагональю 14 см. Найдите объем пирамиды, учитывая, что все боковые грани наклонены к плоскости основания под углом $45^\circ$.

Для нахождения объема пирамиды используется формула $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания (ромба).
Периметр ромба равен 100 см, а у ромба все стороны равны. Следовательно, длина стороны ромба $a$ равна:$a = \frac{100 \text{ см}}{4} = 25 \text{ см}$.
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Пусть известная диагональ $d_1 = 14$ см, тогда ее половина равна $7$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник, где гипотенуза — это сторона ромба ($a$), а катеты — половины диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$). По теореме Пифагора найдем половину второй диагонали:$(\frac{d_2}{2})^2 = a^2 - (\frac{d_1}{2})^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$.
$\frac{d_2}{2} = \sqrt{576} = 24$ см.
Значит, вторая диагональ $d_2 = 2 \cdot 24 = 48$ см.
Площадь ромба вычисляется как половина произведения его диагоналей:$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 48 = 7 \cdot 48 = 336 \text{ см}^2$.

2. Найдем высоту пирамиды.
По условию, все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом 45°. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Высота пирамиды $H$, радиус вписанной в ромб окружности $r$ и апофема (высота боковой грани) образуют прямоугольный треугольник. Угол между плоскостью основания и боковой гранью является углом между радиусом $r$ и апофемой. Из этого треугольника имеем соотношение: $\tan(45^\circ) = \frac{H}{r}$.
Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, то высота пирамиды равна радиусу вписанной окружности: $H = r$.
Найдем радиус вписанной в ромб окружности. Площадь ромба также можно найти по формуле $S_{осн} = a \cdot h_{ромба}$, где $h_{ромба}$ — высота ромба.$h_{ромба} = \frac{S_{осн}}{a} = \frac{336}{25}$ см.
Радиус вписанной окружности равен половине высоты ромба:$r = \frac{h_{ромба}}{2} = \frac{336/25}{2} = \frac{168}{25}$ см.
Следовательно, высота пирамиды $H = r = \frac{168}{25}$ см.

3. Вычислим объем пирамиды.
Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем вычислить объем пирамиды:$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 336 \cdot \frac{168}{25} = 112 \cdot \frac{168}{25} = \frac{18816}{25} = 752.64 \text{ см}^3$.

Ответ: $752.64 \text{ см}^3$.