Номер 1137, страница 157 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1137. Высота пирамиды равна $H$. Плоскости, параллельные основанию пирамиды, разделяют ее боковую поверхность на $n$ частей с равными площадями. Найдите расстояния от вершины пирамиды до этих плоскостей.

Пусть $H$ — высота исходной пирамиды, а $S_{бок}$ — площадь её боковой поверхности. Согласно условию, $n-1$ плоскостей, параллельных основанию, разделяют боковую поверхность на $n$ частей с равными площадями. Площадь каждой такой части равна $S_{бок} / n$.

Рассмотрим пирамиды, которые отсекаются этими плоскостями от вершины исходной пирамиды. Пусть $h_k$ — это расстояние от вершины до $k$-й плоскости ($k$ изменяется от 1 до $n-1$), и $S_k$ — площадь боковой поверхности пирамиды, отсекаемой $k$-й плоскостью.

Самая маленькая пирамида, отсекаемая первой плоскостью на расстоянии $h_1$ от вершины, имеет площадь боковой поверхности $S_1 = S_{бок} / n$.

Пирамида, отсекаемая второй плоскостью на расстоянии $h_2$ от вершины, включает в себя первые две части боковой поверхности. Её площадь боковой поверхности $S_2 = S_{бок} / n + S_{бок} / n = 2 \cdot (S_{бок} / n)$.

Продолжая эту логику, площадь боковой поверхности пирамиды, отсекаемой $k$-й плоскостью, будет состоять из $k$ частей, и её площадь составит:

$S_k = k \cdot \frac{S_{бок}}{n}$

Пирамида, отсекаемая плоскостью, параллельной основанию, подобна исходной пирамиде. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. В данном случае коэффициент подобия равен отношению высот.

Для $k$-й отсеченной пирамиды высотой $h_k$ и исходной пирамиды высотой $H$ справедливо соотношение:

$\frac{S_k}{S_{бок}} = \left(\frac{h_k}{H}\right)^2$

Теперь подставим выражение для $S_k$ в эту формулу:

$\frac{k \cdot (S_{бок} / n)}{S_{бок}} = \left(\frac{h_k}{H}\right)^2$

Сократив $S_{бок}$, получим:

$\frac{k}{n} = \left(\frac{h_k}{H}\right)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\sqrt{\frac{k}{n}} = \frac{h_k}{H}$

Отсюда выразим искомое расстояние $h_k$:

$h_k = H \sqrt{\frac{k}{n}} = \frac{H\sqrt{k}}{\sqrt{n}}$

Это формула для расстояния от вершины до $k$-й плоскости, где $k$ принимает значения от 1 до $n-1$.

Ответ: Расстояния от вершины пирамиды до этих плоскостей равны $H\sqrt{\frac{1}{n}}, H\sqrt{\frac{2}{n}}, \dots, H\sqrt{\frac{n-1}{n}}$.