Номер 1132, страница 156 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1132. Основаниями правильной усеченной пирамиды являются квадраты со сторонами $a$ и $b$. Найдите боковую поверхность пирамиды, учитывая, что ее высота равна $H$.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды ($S_{бок}$) вычисляется по формуле:$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a$,где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани).

Вычисление периметров оснований.Так как основаниями являются квадраты со сторонами $a$ и $b$, их периметры равны:$P_1 = 4a$ и $P_2 = 4b$.

Нахождение апофемы.Апофему $h_a$ можно найти с помощью теоремы Пифагора. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой $h_a$ и отрезком, соединяющим проекции середин сторон оснований на плоскость, проходящую через центр пирамиды параллельно основаниям. Катетами этого треугольника являются высота $H$ и полуразность расстояний от центров оснований до их сторон. Для квадратов эти расстояния равны $a/2$ и $b/2$. Таким образом, второй катет равен $\frac{a-b}{2}$ (предполагая, что $a>b$). Апофема $h_a$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:$h_a^2 = H^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$Следовательно, апофема равна:$h_a = \sqrt{H^2 + \frac{(a-b)^2}{4}}$

Расчет боковой поверхности.Подставим найденные значения периметров и апофемы в исходную формулу:$S_{бок} = \frac{1}{2}(4a + 4b) \cdot \sqrt{H^2 + \frac{(a-b)^2}{4}}$Упростим выражение:$S_{бок} = \frac{4}{2}(a + b) \cdot \sqrt{H^2 + \frac{(a-b)^2}{4}}$$S_{бок} = 2(a + b) \cdot \sqrt{\frac{4H^2 + (a-b)^2}{4}}$$S_{бок} = 2(a + b) \cdot \frac{\sqrt{4H^2 + (a-b)^2}}{\sqrt{4}}$$S_{бок} = 2(a + b) \cdot \frac{\sqrt{4H^2 + (a-b)^2}}{2}$$S_{бок} = (a + b) \sqrt{4H^2 + (a-b)^2}$

Ответ: $(a + b) \sqrt{4H^2 + (a-b)^2}$