Номер 1128, страница 156 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1128. Сечение $ABD$ прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ с боковым ребром 60 см образует с плоскостью основания угол $60^\circ$ и имеет площадь $600 \text{ см}^2$. Найдите полную поверхность призмы, учитывая, что в треугольнике $ABD$ сторона $AB$ на 10 см короче проведенной к ней высоты.

Пусть $h_{sec}$ - высота треугольника сечения $ABD$, проведенная к стороне $AB$. По условию задачи, площадь сечения $S_{ABD} = 600 \text{ см}^2$, а сторона $AB$ на 10 см короче этой высоты.
Запишем это в виде системы уравнений:
$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{sec} = 600$
$AB = h_{sec} - 10$
Подставим второе уравнение в первое:
$\frac{1}{2} (h_{sec} - 10) \cdot h_{sec} = 600$
$h_{sec}^2 - 10h_{sec} = 1200$
$h_{sec}^2 - 10h_{sec} - 1200 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1200) = 100 + 4800 = 4900 = 70^2$
$h_{sec} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm 70}{2}$
Поскольку высота должна быть положительной, выбираем корень со знаком плюс:
$h_{sec} = \frac{10 + 70}{2} = 40$ см.
Теперь найдем длину стороны $AB$:
$AB = h_{sec} - 10 = 40 - 10 = 30$ см.

Плоскость сечения $ABD$ образует с плоскостью основания $ABC$ угол $\alpha = 60^\circ$. Площадь основания $S_{ABC}$ является проекцией площади сечения $S_{ABD}$ на плоскость основания. Связь между ними выражается формулой:
$S_{ABC} = S_{ABD} \cdot \cos(\alpha)$
$S_{ABC} = 600 \cdot \cos(60^\circ) = 600 \cdot \frac{1}{2} = 300 \text{ см}^2$.
Пусть $h_{base}$ - высота треугольника основания $ABC$, проведенная к стороне $AB$. Площадь основания также равна:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{base}$
$300 = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot h_{base}$
$300 = 15 \cdot h_{base}$
$h_{base} = \frac{300}{15} = 20$ см.

Для нахождения полной поверхности призмы необходимо знать периметр ее основания $P_{ABC} = AB + BC + AC$. У нас есть длина стороны $AB = 30$ см и высота, проведенная к ней, $h_{base} = 20$ см. Этих данных недостаточно для однозначного определения длин сторон $AC$ и $BC$. В таких случаях, если не указано иное, предполагается, что треугольник в основании является равнобедренным.
Пусть треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB$. Тогда высота, проведенная к основанию, является и медианой. Она делит сторону $AB$ на два равных отрезка по $30 / 2 = 15$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $AC$, высотой $h_{base}$ и половиной основания $AB$. По теореме Пифагора найдем длину стороны $AC$:
$AC^2 = h_{base}^2 + (\frac{AB}{2})^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625$
$AC = \sqrt{625} = 25$ см.
Так как треугольник равнобедренный, $BC = AC = 25$ см.
Теперь найдем периметр основания:
$P_{ABC} = AB + BC + AC = 30 + 25 + 25 = 80$ см.

Полная поверхность прямой призмы вычисляется по формуле:
$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$
где $S_{осн}$ - площадь основания, а $S_{бок}$ - площадь боковой поверхности.
Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту призмы $H$ (длину бокового ребра). По условию $H = 60$ см.
$S_{бок} = P_{ABC} \cdot H = 80 \cdot 60 = 4800 \text{ см}^2$.
Теперь вычислим полную поверхность призмы:
$S_{полн} = 2 \cdot S_{ABC} + S_{бок} = 2 \cdot 300 + 4800 = 600 + 4800 = 5400 \text{ см}^2$.

Ответ: $5400 \text{ см}^2$.