Номер 1143, страница 158 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1143. В основании пирамиды лежит квадрат, одно из ее боковых ребер равно $12$ см и перпендикулярно плоскости основания. Найдите объем пирамиды, учитывая, что площадь ее большей боковой грани равна $160$ см$^2$.

Пусть дана пирамида $SABCD$, где $ABCD$ - квадрат в основании, а боковое ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания. Тогда высота пирамиды $H$ равна длине этого ребра: $H = SA = 12$ см.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Тогда $AB = BC = CD = DA = a$. Площадь основания пирамиды равна $S_{осн} = a^2$.

Боковыми гранями пирамиды являются четыре треугольника: $\triangle SAB$, $\triangle SAD$, $\triangle SBC$ и $\triangle SDC$.

Поскольку $SA \perp (ABCD)$, то $SA \perp AB$ и $SA \perp AD$. Следовательно, грани $SAB$ и $SAD$ - это прямоугольные треугольники. Их площади равны:

$S_{\triangle SAB} = S_{\triangle SAD} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot a = 6a$ см².

Рассмотрим грань $SBC$. $SA$ - перпендикуляр к плоскости основания, $SB$ - наклонная, $AB$ - проекция наклонной $SB$ на плоскость основания. Так как $ABCD$ - квадрат, то $AB \perp BC$. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной перпендикулярна прямой в плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $SB \perp BC$. Это означает, что грань $SBC$ - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $B$.

Аналогично, для грани $SDC$ имеем $SD \perp DC$, и $\triangle SDC$ - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $D$.

Найдем длины боковых ребер $SB$ и $SD$. Из прямоугольного треугольника $SAB$ по теореме Пифагора:

$SB^2 = SA^2 + AB^2 = 12^2 + a^2 = 144 + a^2$.

$SB = \sqrt{144 + a^2}$.

Так как $AB = AD$, то $SB = SD = \sqrt{144 + a^2}$.

Площади граней $SBC$ и $SDC$ равны:

$S_{\triangle SBC} = S_{\triangle SDC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SB = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{144 + a^2}$.

Чтобы определить большую боковую грань, сравним площади $6a$ и $\frac{1}{2} a \sqrt{144 + a^2}$.

Так как $a > 0$, сравним $6$ и $\frac{1}{2}\sqrt{144 + a^2}$. Возведем обе части в квадрат: $6^2 = 36$ и $(\frac{1}{2}\sqrt{144 + a^2})^2 = \frac{1}{4}(144+a^2) = 36 + \frac{a^2}{4}$.

Поскольку $a^2 > 0$, то $36 + \frac{a^2}{4} > 36$. Следовательно, $\frac{1}{2} a \sqrt{144 + a^2} > 6a$.

Значит, большей боковой гранью является грань $SBC$ (или $SDC$), и ее площадь по условию равна 160 см².

$\frac{1}{2} a \sqrt{144 + a^2} = 160$.

Умножим обе части на 2: $a \sqrt{144 + a^2} = 320$.

Возведем обе части в квадрат: $a^2(144 + a^2) = 320^2 = 102400$.

Пусть $x = a^2$. Получим квадратное уравнение: $x(144 + x) = 102400 \Rightarrow x^2 + 144x - 102400 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 144^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-102400) = 20736 + 409600 = 430336$.

$\sqrt{D} = \sqrt{430336} = 656$.

Найдем корни уравнения: $x = \frac{-144 \pm 656}{2}$. Так как $x = a^2$ должно быть положительным, выбираем корень со знаком плюс:

$x = \frac{-144 + 656}{2} = \frac{512}{2} = 256$.

Таким образом, площадь основания пирамиды $S_{осн} = a^2 = 256$ см².

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.

Подставим найденные значения: $V = \frac{1}{3} \cdot 256 \cdot 12 = 256 \cdot \frac{12}{3} = 256 \cdot 4 = 1024$ см³.

Ответ: 1024 см³.