Номер 1146, страница 158 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1146. Металлический сплошной конус, высота которого равна 12,61 см, переплавлен в шар с толщиной стенок 1 см и внутренним радиусом, равным радиусу основания конуса. Найдите внутренний объем шара.

Пусть $r$ - радиус основания конуса, а $H$ - его высота. По условию задачи, высота конуса $H = 12,61$ см.

Объем сплошного конуса $V_{конуса}$ вычисляется по формуле:

$V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi r^2 H = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot 12,61$

Этот конус переплавили в шар с толщиной стенок $t = 1$ см. Внутренний радиус шара, обозначим его $r_{вн}$, равен радиусу основания конуса, то есть $r_{вн} = r$.

Внешний радиус шара $R_{внеш}$ будет равен сумме внутреннего радиуса и толщины стенки:

$R_{внеш} = r_{вн} + t = r + 1$

Объем металла в получившемся полом шаре (сферическом слое) равен объему исходного конуса. Объем сферического слоя $V_{слоя}$ вычисляется как разность объемов внешнего и внутреннего шаров:

$V_{слоя} = V_{внеш} - V_{вн} = \frac{4}{3} \pi R_{внеш}^3 - \frac{4}{3} \pi r_{вн}^3 = \frac{4}{3} \pi (R_{внеш}^3 - r_{вн}^3)$

Подставив выражения для радиусов, получим:

$V_{слоя} = \frac{4}{3} \pi ((r+1)^3 - r^3)$

Приравняем объемы конуса и сферического слоя:

$V_{конуса} = V_{слоя}$

$\frac{1}{3} \pi r^2 \cdot 12,61 = \frac{4}{3} \pi ((r+1)^3 - r^3)$

Сократим обе части уравнения на $\frac{1}{3} \pi$:

$12,61 r^2 = 4 ((r+1)^3 - r^3)$

Используем формулу разности кубов или раскроем скобки $(r+1)^3 = r^3 + 3r^2 + 3r + 1$:

$12,61 r^2 = 4 (r^3 + 3r^2 + 3r + 1 - r^3)$

$12,61 r^2 = 4 (3r^2 + 3r + 1)$

$12,61 r^2 = 12r^2 + 12r + 4$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$12,61 r^2 - 12r^2 - 12r - 4 = 0$

$0,61 r^2 - 12r - 4 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 0,61 \cdot (-4) = 144 + 9,76 = 153,76$

Найдем корни уравнения:

$r = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm \sqrt{153,76}}{2 \cdot 0,61} = \frac{12 \pm 12,4}{1,22}$

Так как радиус является геометрической величиной, он должен быть положительным. Поэтому выбираем корень со знаком "плюс":

$r = \frac{12 + 12,4}{1,22} = \frac{24,4}{1,22} = 20$ см.

Итак, мы нашли, что внутренний радиус шара $r_{вн} = 20$ см.

Теперь найдем внутренний объем шара $V_{вн}$ по формуле объема шара:

$V_{вн} = \frac{4}{3} \pi r_{вн}^3 = \frac{4}{3} \pi (20)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 8000 = \frac{32000}{3} \pi$ см$^3$.

Ответ: $\frac{32000 \pi}{3}$ см$^3$.