Номер 1210, страница 164 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1210. Определите, при каких условиях выполняется равенство:

а) $\left|\vec{a}+\vec{b}\right|=\left|\vec{a}\right|+\left|\vec{b}\right|;$

б) $\left|\vec{a}+\vec{b}\right|=\left|\left|\vec{a}\right|-\left|\vec{b}\right|\right|;$

в) $\left|\vec{a}+\vec{b}\right|=\left|\vec{a}-\vec{b}\right|;$

г) $\left|\vec{a}+\vec{b}\right|=\left|\vec{a}\right|-\left|\vec{b}\right|;$

д) $\left|\vec{a}-\vec{b}\right|=\left|\vec{a}\right|+\left|\vec{b}\right|;$

е) $\left|\vec{a}+\vec{b}\right|=0;$

ж) $\vec{a}=\left|\vec{a}\right| \cdot \vec{b};$

з) $\vec{a}+\left|\vec{a}\right| \cdot \vec{b}=0;$

и) $\frac{\vec{a}}{\left|\vec{a}\right|}=\frac{\vec{b}}{\left|\vec{b}\right|}.$

а) $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$

Данное равенство является случаем равенства в неравенстве треугольника для векторов. Оно выполняется тогда и только тогда, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены. Проверим это алгебраически. Возведем обе части равенства в квадрат, так как они обе неотрицательны:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2$

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$

$|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$

Упрощая, получаем: $2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 2|\vec{a}||\vec{b}|$, или $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|$.

По определению скалярного произведения, $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$, где $\theta$ — угол между векторами. Следовательно, $|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = |\vec{a}||\vec{b}|$.

Если векторы не нулевые, то $\cos\theta = 1$, что означает $\theta = 0$. Векторы сонаправлены. Если один из векторов нулевой, равенство также выполняется (нулевой вектор считается сонаправленным любому вектору).

Ответ: векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$).

б) $|\vec{a} + \vec{b}| = ||\vec{a}| - |\vec{b}||$

Возведем обе части равенства в квадрат:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (||\vec{a}| - |\vec{b}||)^2 = (|\vec{a}| - |\vec{b}|)^2$

$|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$

Упрощая, получаем: $2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -2|\vec{a}||\vec{b}|$, или $\vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}||\vec{b}|$.

Используя определение скалярного произведения, $|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = -|\vec{a}||\vec{b}|$.

Для ненулевых векторов это означает, что $\cos\theta = -1$, то есть угол $\theta = \pi$. Векторы направлены в противоположные стороны. Если один из векторов нулевой, равенство также выполняется.

Ответ: векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены ($\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$).

в) $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| - |\vec{b}|$

Для того чтобы это равенство имело смысл, правая часть должна быть неотрицательной, то есть $|\vec{a}| \ge |\vec{b}|$. При этом условии, возведем обе части в квадрат:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (|\vec{a}| - |\vec{b}|)^2$

Это приводит к тому же результату, что и в пункте б): $\vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}||\vec{b}|$.

Следовательно, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ должны быть противоположно направлены. Таким образом, должны выполняться два условия.

Ответ: векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены ($\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$) и модуль вектора $\vec{a}$ больше или равен модулю вектора $\vec{b}$ ($|\vec{a}| \ge |\vec{b}|$).

г) $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$

Геометрически, векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ являются диагоналями параллелограмма, построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Равенство их длин означает, что этот параллелограмм является прямоугольником, а значит, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны. Алгебраически:

Возведем обе части равенства в квадрат:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2$

$|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

$4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$, следовательно, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

Скалярное произведение равно нулю, если векторы перпендикулярны (ортогональны) или хотя бы один из них нулевой.

Ответ: векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны ($\vec{a} \perp \vec{b}$).

д) $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$

Это равенство можно переписать как $|\vec{a} + (-\vec{b})| = |\vec{a}| + |-\vec{b}|$. Это та же форма, что и в пункте а), но для векторов $\vec{a}$ и $-\vec{b}$. Следовательно, векторы $\vec{a}$ и $-\vec{b}$ должны быть сонаправлены, что означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ должны быть противоположно направлены. Алгебраически:

Возведем обе части в квадрат:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2$

$|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$

$-2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 2|\vec{a}||\vec{b}|$, или $\vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}||\vec{b}|$.

Как и в пункте б), это означает, что векторы противоположно направлены.

Ответ: векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены ($\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$).

е) $|\vec{a} + \vec{b}| = 0$

Модуль вектора равен нулю тогда и только тогда, когда сам вектор является нулевым вектором. Следовательно, $\vec{a} + \vec{b} = \vec{0}$, что эквивалентно $\vec{a} = -\vec{b}$.

Ответ: векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположны ($\vec{a} = -\vec{b}$).

ж) $\vec{a} = |\vec{a}| \cdot \vec{b}$

Это векторное равенство. Оно означает, что вектор $\vec{a}$ коллинеарен вектору $\vec{b}$. Так как скалярный множитель $|\vec{a}|$ неотрицателен, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены.

Рассмотрим два случая:

1. Если $\vec{a} = \vec{0}$, то $|\vec{a}| = 0$. Равенство принимает вид $\vec{0} = 0 \cdot \vec{b}$, что верно для любого вектора $\vec{b}$.

2. Если $\vec{a} \ne \vec{0}$, то $|\vec{a}| > 0$. Возьмем модуль от обеих частей равенства: $|\vec{a}| = ||\vec{a}| \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|$. Так как $|\vec{a}| \ne 0$, мы можем разделить на него, получая $|\vec{b}| = 1$. То есть, $\vec{b}$ — единичный вектор. В этом случае равенство означает, что $\vec{b}$ — это единичный вектор, сонаправленный с вектором $\vec{a}$.

Ответ: либо $\vec{a} = \vec{0}$ (при любом $\vec{b}$), либо $|\vec{b}| = 1$ и векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены.

з) $\vec{a} + |\vec{a}| \cdot \vec{b} = \vec{0}$

Перепишем равенство как $\vec{a} = -|\vec{a}| \cdot \vec{b}$. Скалярный множитель $-|\vec{a}|$ неположителен, значит, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены.

Рассмотрим два случая:

1. Если $\vec{a} = \vec{0}$, то $|\vec{a}| = 0$. Равенство принимает вид $\vec{0} = -0 \cdot \vec{b}$, что верно для любого вектора $\vec{b}$.

2. Если $\vec{a} \ne \vec{0}$, то $|\vec{a}| > 0$. Возьмем модуль от обеих частей: $|\vec{a}| = |-|\vec{a}| \vec{b}| = |-|\vec{a}|| \cdot |\vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|$. Так как $|\vec{a}| \ne 0$, получаем $|\vec{b}| = 1$. То есть, $\vec{b}$ — единичный вектор. В этом случае равенство означает, что $\vec{b}$ — это единичный вектор, направленный противоположно вектору $\vec{a}$.

Ответ: либо $\vec{a} = \vec{0}$ (при любом $\vec{b}$), либо $|\vec{b}| = 1$ и векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены.

и) $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$

Выражение $\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$ представляет собой единичный вектор (орт), направленный так же, как и вектор $\vec{v}$. Для того чтобы это выражение было определено, необходимо, чтобы вектор $\vec{v}$ был ненулевым. Следовательно, $|\vec{a}| \ne 0$ и $|\vec{b}| \ne 0$, то есть $\vec{a} \ne \vec{0}$ и $\vec{b} \ne \vec{0}$.

Равенство означает, что единичный вектор в направлении $\vec{a}$ совпадает с единичным вектором в направлении $\vec{b}$. Это возможно только в том случае, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ имеют одинаковое направление, то есть сонаправлены.

Ответ: векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ненулевые и сонаправлены.