Номер 1216, страница 165 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1216. Плоскость $\alpha$ пересекает ребра $SA, SB, SC$ тетраэдра $SABC$ в точках $A_1, B_1, C_1$ соответственно, причем $SA_1 : SA = a, SB_1 : SB = b, SC_1 : SC = c$. Медианы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$, плоскость $A_1B_1C_1$ пересекает отрезок $SM$ в точке $M_1$ (рис. 357). Найдите отношение $SM_1 : SM$.

Рис. 357

Для решения этой задачи удобно использовать векторный метод. Примем вершину тетраэдра $S$ за начало системы координат. Введем базисные векторы $\vec{SA} = \vec{u}$, $\vec{SB} = \vec{v}$, $\vec{SC} = \vec{w}$. Поскольку точки $S, A, B, C$ не лежат в одной плоскости, эти векторы некомпланарны и образуют базис в пространстве.

Точка $M$ — точка пересечения медиан (центроид) треугольника $ABC$. Ее радиус-вектор из точки $S$ равен среднему арифметическому радиус-векторов вершин треугольника:

$\vec{SM} = \frac{1}{3}(\vec{SA} + \vec{SB} + \vec{SC}) = \frac{1}{3}(\vec{u} + \vec{v} + \vec{w})$.

Точки $A_1, B_1, C_1$ лежат на ребрах $SA, SB, SC$ соответственно. Согласно условиям задачи, их радиус-векторы можно выразить следующим образом:

$SA_1 : SA = a \implies \vec{SA_1} = a \cdot \vec{SA} = a\vec{u}$

$SB_1 : SB = b \implies \vec{SB_1} = b \cdot \vec{SB} = b\vec{v}$

$SC_1 : SC = c \implies \vec{SC_1} = c \cdot \vec{SC} = c\vec{w}$

Точка $M_1$ лежит на отрезке $SM$. Это означает, что вектор $\vec{SM_1}$ коллинеарен вектору $\vec{SM}$. Следовательно, существует такое число $k$, что $\vec{SM_1} = k \cdot \vec{SM}$. Искомое отношение $SM_1 : SM$ как раз и равно этому числу $k$.

Подставим выражение для $\vec{SM}$:

$\vec{SM_1} = k \cdot \frac{1}{3}(\vec{u} + \vec{v} + \vec{w}) = \frac{k}{3}\vec{u} + \frac{k}{3}\vec{v} + \frac{k}{3}\vec{w}$.

С другой стороны, точка $M_1$ принадлежит плоскости $A_1B_1C_1$. Это значит, что ее радиус-вектор $\vec{SM_1}$ может быть представлен как линейная комбинация радиус-векторов точек $A_1, B_1, C_1$, причем сумма коэффициентов этой комбинации равна 1.

$\vec{SM_1} = \alpha\vec{SA_1} + \beta\vec{SB_1} + \gamma\vec{SC_1}$, где $\alpha + \beta + \gamma = 1$.

Подставим выражения для векторов $\vec{SA_1}, \vec{SB_1}, \vec{SC_1}$:

$\vec{SM_1} = \alpha(a\vec{u}) + \beta(b\vec{v}) + \gamma(c\vec{w}) = (a\alpha)\vec{u} + (b\beta)\vec{v} + (c\gamma)\vec{w}$.

Мы получили два выражения для вектора $\vec{SM_1}$. Поскольку разложение вектора по базису $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ единственно, мы можем приравнять коэффициенты при соответствующих базисных векторах:

$\begin{cases} a\alpha = \frac{k}{3} \\ b\beta = \frac{k}{3} \\ c\gamma = \frac{k}{3} \end{cases}$

Из этой системы выразим коэффициенты $\alpha, \beta, \gamma$ через $k$:

$\alpha = \frac{k}{3a}, \beta = \frac{k}{3b}, \gamma = \frac{k}{3c}$.

Теперь подставим эти выражения в условие $\alpha + \beta + \gamma = 1$:

$\frac{k}{3a} + \frac{k}{3b} + \frac{k}{3c} = 1$.

Вынесем $\frac{k}{3}$ за скобку:

$\frac{k}{3} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) = 1$.

Теперь найдем $k$, приведя сумму в скобках к общему знаменателю:

$k = \frac{3}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} = \frac{3}{\frac{bc + ac + ab}{abc}} = \frac{3abc}{ab + bc + ca}$.

Таким образом, искомое отношение $SM_1 : SM$ равно $k$.

Ответ: $\frac{3abc}{ab + bc + ca}$.