Номер 1222, страница 166 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1222. Вершины $A_1$, $B_1$, $C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$ симметричны вершинам $A_2$, $B_2$, $C_2$ треугольника $A_2B_2C_2$ относительно середин $A_0$, $B_0$, $C_0$ сторон $BC$, $AC$, $AB$ треугольника $ABC$ (рис. 358). Докажите, что точки $M_1$ и $M_2$ пересечения медиан треугольников $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ симметричны относительно точки $M$ пересечения медиан треугольника $ABC$.

Рис. 358

Для решения задачи воспользуемся методом векторов. Пусть O — произвольное начало координат. Положение любой точки X будем задавать ее радиус-вектором $\vec{X}$.

Пусть вершины треугольника $ABC$ заданы радиус-векторами $\vec{A}$, $\vec{B}$ и $\vec{C}$.

Точки $A_0, B_0, C_0$ — середины сторон $BC, AC, AB$ соответственно. Их радиус-векторы выражаются формулами:

$ \vec{A_0} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} $

$ \vec{B_0} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} $

$ \vec{C_0} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} $

Точка $M$ — точка пересечения медиан (центроид) треугольника $ABC$. Ее радиус-вектор:

$ \vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3} $

Точки $M_1$ и $M_2$ — точки пересечения медиан треугольников $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ соответственно. Их радиус-векторы:

$ \vec{M_1} = \frac{\vec{A_1} + \vec{B_1} + \vec{C_1}}{3} $

$ \vec{M_2} = \frac{\vec{A_2} + \vec{B_2} + \vec{C_2}}{3} $

По условию задачи, вершины $A_1, B_1, C_1$ симметричны вершинам $A_2, B_2, C_2$ относительно точек $A_0, B_0, C_0$ соответственно. Это означает, что $A_0$ является серединой отрезка $A_1A_2$, $B_0$ — серединой отрезка $B_1B_2$, и $C_0$ — серединой отрезка $C_1C_2$. В векторной форме это можно записать так:

$ \vec{A_0} = \frac{\vec{A_1} + \vec{A_2}}{2} \implies \vec{A_1} + \vec{A_2} = 2\vec{A_0} $

$ \vec{B_0} = \frac{\vec{B_1} + \vec{B_2}}{2} \implies \vec{B_1} + \vec{B_2} = 2\vec{B_0} $

$ \vec{C_0} = \frac{\vec{C_1} + \vec{C_2}}{2} \implies \vec{C_1} + \vec{C_2} = 2\vec{C_0} $

Чтобы доказать, что точки $M_1$ и $M_2$ симметричны относительно точки $M$, нужно показать, что $M$ является серединой отрезка $M_1M_2$. Векторно это эквивалентно равенству: $ \vec{M} = \frac{\vec{M_1} + \vec{M_2}}{2} $.

Найдем сумму радиус-векторов $\vec{M_1}$ и $\vec{M_2}$:

$ \vec{M_1} + \vec{M_2} = \frac{\vec{A_1} + \vec{B_1} + \vec{C_1}}{3} + \frac{\vec{A_2} + \vec{B_2} + \vec{C_2}}{3} = \frac{(\vec{A_1} + \vec{A_2}) + (\vec{B_1} + \vec{B_2}) + (\vec{C_1} + \vec{C_2})}{3} $

Подставим в это выражение равенства, следующие из условия симметрии:

$ \vec{M_1} + \vec{M_2} = \frac{2\vec{A_0} + 2\vec{B_0} + 2\vec{C_0}}{3} $

Теперь подставим выражения для радиус-векторов точек $A_0, B_0, C_0$:

$ \vec{M_1} + \vec{M_2} = \frac{2\left(\frac{\vec{B} + \vec{C}}{2}\right) + 2\left(\frac{\vec{A} + \vec{C}}{2}\right) + 2\left(\frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}\right)}{3} $

Упростим выражение в числителе:

$ \vec{M_1} + \vec{M_2} = \frac{(\vec{B} + \vec{C}) + (\vec{A} + \vec{C}) + (\vec{A} + \vec{B})}{3} = \frac{2\vec{A} + 2\vec{B} + 2\vec{C}}{3} $

Вынесем множитель 2 за скобки:

$ \vec{M_1} + \vec{M_2} = 2 \cdot \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3} $

Так как $ \vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3} $, получаем:

$ \vec{M_1} + \vec{M_2} = 2\vec{M} $

Разделив обе части на 2, получим:

$ \frac{\vec{M_1} + \vec{M_2}}{2} = \vec{M} $

Это равенство по определению означает, что точка $M$ является серединой отрезка $M_1M_2$. Следовательно, точки $M_1$ и $M_2$ симметричны относительно точки $M$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.