Номер 1229, страница 167 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1229. Точка K плоскости треугольника ABC выбрана так, что $x \cdot \vec{KA} + y \cdot \vec{KB} + z \cdot \vec{KC} = \vec{0}$. Определите, где в плоскости треугольника ABC находится такая точка L, что $\frac{\vec{LA}}{BC^2} + \frac{\vec{LB}}{AC^2} + \frac{\vec{LC}}{AB^2} = \vec{0}$.

Данное векторное равенство определяет положение точки L в плоскости треугольника ABC. Уравнение вида $x \cdot \vec{KA} + y \cdot \vec{KB} + z \cdot \vec{KC} = \vec{0}$ означает, что точка K является барицентром (или центром масс) вершин A, B, C с соответствующими весами (массами) x, y и z.

В задаче для точки L дано уравнение:

$\frac{\vec{LA}}{BC^2} + \frac{\vec{LB}}{AC^2} + \frac{\vec{LC}}{AB^2} = \vec{0}$

Обозначим длины сторон треугольника стандартно: $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$\frac{1}{a^2}\vec{LA} + \frac{1}{b^2}\vec{LB} + \frac{1}{c^2}\vec{LC} = \vec{0}$

Из этого следует, что точка L является барицентром вершин A, B, C с весами $w_A = \frac{1}{a^2}$, $w_B = \frac{1}{b^2}$ и $w_C = \frac{1}{c^2}$.

В геометрии треугольника точка с такими барицентрическими координатами известна как третья точка Брокара, которая является изотомически сопряженной к точке Лемуана.

Однако, в учебной литературе и олимпиадных задачах гораздо чаще встречается точка Лемуана (также называемая точкой пересечения симедиан), которая определяется очень похожим уравнением. Весьма вероятно, что в условии задачи допущена опечатка, и коэффициенты должны быть не обратными квадратами сторон, а самими квадратами сторон. То есть, предполагаемое уравнение должно выглядеть так:

$a^2 \cdot \vec{LA} + b^2 \cdot \vec{LB} + c^2 \cdot \vec{LC} = \vec{0}$

что эквивалентно:

$BC^2 \cdot \vec{LA} + AC^2 \cdot \vec{LB} + AB^2 \cdot \vec{LC} = \vec{0}$

Решением этого "исправленного" уравнения является точка Лемуана. Геометрически эта точка определяется как точка пересечения трех симедиан треугольника. Симедиана, проведенная из вершины, — это прямая, симметричная медиане из той же вершины относительно биссектрисы угла этой вершины.

Учитывая стандартный курс геометрии, наиболее вероятным ответом, который подразумевался автором задачи, является именно точка Лемуана.

Ответ: Если условие задачи корректно, то L — это третья точка Брокара. Однако, более вероятно, что в условии допущена опечатка, и на самом деле L — это точка Лемуана (точка пересечения симедиан) треугольника ABC.