Номер 1233, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1233. Прямые, проходящие через точку $K$ и вершины $A$, $B$, $C$ треугольника $ABC$, пересекают прямые $BC$, $AC$, $AB$ в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ соответственно. Докажите, что если $\vec{AC_1} = \frac{y}{x} \cdot \vec{C_1B}$ и $\vec{BA_1} = \frac{z}{y} \cdot \vec{A_1C}$, то:

a) $\vec{CB_1} = \frac{x}{z} \cdot \vec{B_1A}$;

б) $x \cdot \vec{KA} + y \cdot \vec{KB} + z \cdot \vec{KC} = \vec{0}$.

а)

Прямые $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ являются чевианами треугольника $ABC$, пересекающимися в одной точке $K$. По теореме Чевы, для таких чевиан справедливо следующее соотношение длин отрезков: $$ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1 $$ Из условия задачи нам даны векторные равенства. Перейдем от них к соотношениям длин.

Из $\vec{AC_1} = \frac{y}{x} \cdot \vec{C_1B}$ следует, что векторы $\vec{AC_1}$ и $\vec{C_1B}$ коллинеарны. Так как точка $C_1$ лежит на прямой $AB$, отношение их длин равно модулю коэффициента: $$ \frac{AC_1}{C_1B} = \left|\frac{y}{x}\right| $$ Аналогично, из $\vec{BA_1} = \frac{z}{y} \cdot \vec{A_1C}$ следует: $$ \frac{BA_1}{A_1C} = \left|\frac{z}{y}\right| $$ Будем считать, что $x, y, z$ - положительные числа, соответствующие отношениям длин, так как точки $A_1, B_1, C_1$ обычно рассматриваются на сторонах треугольника.

Подставим известные отношения в формулу теоремы Чевы: $$ \frac{y}{x} \cdot \frac{z}{y} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1 $$ Сократив $y$, получим: $$ \frac{z}{x} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1 $$ Отсюда выразим искомое отношение: $$ \frac{CB_1}{B_1A} = \frac{x}{z} $$ Поскольку точка $B_1$ лежит на прямой $AC$, векторы $\vec{CB_1}$ и $\vec{B_1A}$ коллинеарны и сонаправлены (если $B_1$ между $C$ и $A$). Таким образом, мы можем записать векторное равенство, соответствующее этому отношению длин: $$ \vec{CB_1} = \frac{x}{z} \cdot \vec{B_1A} $$ Что и требовалось доказать.

Ответ: $\vec{CB_1} = \frac{x}{z} \cdot \vec{B_1A}$.

б)

Докажем, что точка $K$ является барицентром (центром масс) для системы точек $A, B, C$ с массами $x, y, z$ соответственно. Если это так, то по определению барицентра должно выполняться равенство $x \cdot \vec{KA} + y \cdot \vec{KB} + z \cdot \vec{KC} = \vec{0}$.

Рассмотрим данное в условии равенство $\vec{AC_1} = \frac{y}{x} \cdot \vec{C_1B}$.
Умножим его на $x$: $x \cdot \vec{AC_1} = y \cdot \vec{C_1B}$.
Выразим векторы через их конечные и начальные точки относительно самой точки $C_1$: $\vec{AC_1} = -\vec{C_1A}$.
Получаем: $-x \cdot \vec{C_1A} = y \cdot \vec{C_1B}$, или $x \cdot \vec{C_1A} + y \cdot \vec{C_1B} = \vec{0}$.
Это равенство означает, что точка $C_1$ является барицентром точек $A$ и $B$ с массами $x$ и $y$.

Теперь рассмотрим второе данное равенство: $\vec{BA_1} = \frac{z}{y} \cdot \vec{A_1C}$.
Умножим его на $y$: $y \cdot \vec{BA_1} = z \cdot \vec{A_1C}$.
Выразим вектор $\vec{BA_1}$ через точку $A_1$: $\vec{BA_1} = -\vec{A_1B}$.
Получаем: $-y \cdot \vec{A_1B} = z \cdot \vec{A_1C}$, или $y \cdot \vec{A_1B} + z \cdot \vec{A_1C} = \vec{0}$.
Это означает, что точка $A_1$ является барицентром точек $B$ и $C$ с массами $y$ и $z$.

Точка $K$ является точкой пересечения чевиан $AA_1$ и $CC_1$.
Так как $K$ лежит на $AA_1$, а $A_1$ — барицентр $(B, y)$ и $(C, z)$, то по свойству ассоциативности барицентра, $K$ является барицентром системы $(A, m_A)$, $(B, y)$, $(C, z)$ для некоторой массы $m_A$.
Так как $K$ лежит на $CC_1$, а $C_1$ — барицентр $(A, x)$ и $(B, y)$, то $K$ является барицентром системы $(A, x)$, $(B, y)$, $(C, m_C)$ для некоторой массы $m_C$.

Сравнивая эти два представления для барицентра $K$, мы видим, что массы при точках $A, B, C$ должны быть пропорциональны. Из первого представления имеем тройку масс $(m_A, y, z)$. Из второго — $(x, y, m_C)$. Поскольку масса при точке $B$ в обоих случаях одинакова ($y$), мы можем приравнять и остальные массы: $m_A = x$ и $m_C = z$.

Таким образом, точка $K$ является барицентром точек $A, B, C$ с массами $x, y, z$. По определению барицентра для точки $K$ и системы материальных точек $(A, x), (B, y), (C, z)$ выполняется векторное равенство: $$ x \cdot \vec{KA} + y \cdot \vec{KB} + z \cdot \vec{KC} = \vec{0} $$ Что и требовалось доказать.

Ответ: $x \cdot \vec{KA} + y \cdot \vec{KB} + z \cdot \vec{KC} = \vec{0}$.