Номер 1237, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1237. Основаниями усеченной пирамиды $ABCDA_1B_1C_1D_1$ являются параллелограммы (рис. 363). Докажите, что любая прямая, пересекающая три из четырех прямых $AB_1$, $BC_1$, $CD_1$, $DA_1$, пересекает и четвертую прямую или параллельна ей.

Рис. 363

Для решения данной задачи мы воспользуемся свойствами линейчатых поверхностей, в частности, гиперболического параболоида.

1. Введение параметризации

Введем в пространстве систему координат. Пусть $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}, \vec{D}$ и $\vec{A_1}, \vec{B_1}, \vec{C_1}, \vec{D_1}$ — радиус-векторы вершин усеченной пирамиды. Так как основаниями являются параллелограммы, то выполняются следующие векторные равенства:

$\vec{A} + \vec{C} = \vec{B} + \vec{D}$

$\vec{A_1} + \vec{C_1} = \vec{B_1} + \vec{D_1}$

Рассмотрим четыре прямые, являющиеся диагоналями боковых граней: $l_1 = AB_1$, $l_2 = BC_1$, $l_3 = CD_1$ и $l_4 = DA_1$.

Введем параметрическое представление точек на этих прямых, используя общий параметр $t \in \mathbb{R}$:

• Точка $P_1(t)$ на прямой $AB_1$: $\vec{P_1}(t) = (1-t)\vec{A} + t\vec{B_1}$
• Точка $P_2(t)$ на прямой $BC_1$: $\vec{P_2}(t) = (1-t)\vec{B} + t\vec{C_1}$
• Точка $P_3(t)$ на прямой $CD_1$: $\vec{P_3}(t) = (1-t)\vec{C} + t\vec{D_1}$
• Точка $P_4(t)$ на прямой $DA_1$: $\vec{P_4}(t) = (1-t)\vec{D} + t\vec{A_1}$

2. Доказательство того, что точки $P_1(t), P_2(t), P_3(t), P_4(t)$ образуют параллелограмм

Для любого значения параметра $t$ четырехугольник $P_1(t)P_2(t)P_3(t)P_4(t)$ является параллелограммом. Чтобы доказать это, достаточно показать, что середины его диагоналей $P_1(t)P_3(t)$ и $P_2(t)P_4(t)$ совпадают.

Середина отрезка $P_1(t)P_3(t)$ имеет радиус-вектор:

$\vec{M}_{13}(t) = \frac{1}{2}(\vec{P_1}(t) + \vec{P_3}(t)) = \frac{1}{2}((1-t)\vec{A} + t\vec{B_1} + (1-t)\vec{C} + t\vec{D_1}) = \frac{1-t}{2}(\vec{A}+\vec{C}) + \frac{t}{2}(\vec{B_1}+\vec{D_1})$

Середина отрезка $P_2(t)P_4(t)$ имеет радиус-вектор:

$\vec{M}_{24}(t) = \frac{1}{2}(\vec{P_2}(t) + \vec{P_4}(t)) = \frac{1}{2}((1-t)\vec{B} + t\vec{C_1} + (1-t)\vec{D} + t\vec{A_1}) = \frac{1-t}{2}(\vec{B}+\vec{D}) + \frac{t}{2}(\vec{A_1}+\vec{C_1})$

Так как $\vec{A}+\vec{C} = \vec{B}+\vec{D}$ и $\vec{A_1}+\vec{C_1} = \vec{B_1}+\vec{D_1}$, то $\vec{M}_{13}(t) = \vec{M}_{24}(t)$ для любого $t$.

Это означает, что диагонали четырехугольника $P_1(t)P_2(t)P_3(t)P_4(t)$ пересекаются в одной точке и делятся ею пополам, следовательно, этот четырехугольник — параллелограмм.

Из свойства параллелограмма следует векторное равенство $\vec{P_1(t)P_2(t)} = \vec{P_4(t)P_3(t)}$, или $\vec{P_2}(t) - \vec{P_1}(t) = \vec{P_3}(t) - \vec{P_4}(t)$. Это можно переписать в виде:

$\vec{P_1}(t) - \vec{P_2}(t) + \vec{P_3}(t) - \vec{P_4}(t) = \vec{0}$

3. Свойство четырех прямых

Тот факт, что для любого $t$ отрезки $P_1(t)P_3(t)$ и $P_2(t)P_4(t)$ пересекаются, означает, что прямые $l_1, l_2, l_3, l_4$ принадлежат одной и той же линейчатой поверхности второго порядка — гиперболическому параболоиду, и образуют одно из двух семейств его прямолинейных образующих.

4. Доказательство основного утверждения

Пусть произвольная прямая $m$ пересекает три из четырех заданных прямых, например, $l_1=AB_1$, $l_2=BC_1$ и $l_3=CD_1$.

По определению гиперболического параболоида, любая прямая, пересекающая три его образующие одного семейства, сама является образующей другого семейства.

Следовательно, прямая $m$ является образующей второго семейства на том же гиперболическом параболоиде, которому принадлежат прямые $l_1, l_2, l_3, l_4$.

Одно из фундаментальных свойств гиперболического параболоида заключается в том, что любые две его образующие, принадлежащие разным семействам, либо пересекаются, либо параллельны (в проективном смысле они всегда пересекаются, возможно, в бесконечно удаленной точке).

Прямая $l_4=DA_1$ является образующей первого семейства, а прямая $m$ — образующей второго семейства. Следовательно, прямая $m$ должна пересекать прямую $l_4$ или быть ей параллельной.

Таким образом, любая прямая, пересекающая три из четырех прямых $AB_1, BC_1, CD_1, DA_1$, пересекает и четвертую прямую или параллельна ей, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.