Номер 1234, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1234. На прямых $l_1$ и $l_2$ отмечены точки $A_1, A_2, A_3$ и $B_1, B_2, B_3$ соответственно так, что $\vec{A_1A_2} = k \cdot \vec{A_2A_3}$, $\vec{B_1B_2} = k \cdot \vec{B_2B_3}$. Докажите, что:

а) прямые $A_1B_1, A_2B_2, A_3B_3$ параллельны одной плоскости;

б) $\vec{A_2B_2} = \frac{\vec{A_1B_1} + k \cdot \vec{A_3B_3}}{1+k}$.

Для решения данной задачи воспользуемся векторным методом. Рассмотрим векторы, соответствующие отрезкам, соединяющим точки на прямых $l_1$ и $l_2$: $\overrightarrow{A_1B_1}$, $\overrightarrow{A_2B_2}$ и $\overrightarrow{A_3B_3}$.

Выразим вектор $\overrightarrow{A_2B_2}$ по правилу многоугольника (правилу замкнутой ломаной) двумя различными способами:

1. Через точки $A_1$ и $B_1$: $\overrightarrow{A_2B_2} = \overrightarrow{A_2A_1} + \overrightarrow{A_1B_1} + \overrightarrow{B_1B_2}$.

2. Через точки $A_3$ и $B_3$: $\overrightarrow{A_2B_2} = \overrightarrow{A_2A_3} + \overrightarrow{A_3B_3} + \overrightarrow{B_3B_2}$.

Из условия задачи нам даны следующие соотношения: $\overrightarrow{A_1A_2} = k \cdot \overrightarrow{A_2A_3}$ и $\overrightarrow{B_1B_2} = k \cdot \overrightarrow{B_2B_3}$.

Преобразуем первое выражение для $\overrightarrow{A_2B_2}$, используя то, что $\overrightarrow{A_2A_1} = -\overrightarrow{A_1A_2}$:

$\overrightarrow{A_2B_2} = \overrightarrow{A_1B_1} - \overrightarrow{A_1A_2} + \overrightarrow{B_1B_2}$ (1)

Теперь преобразуем второе выражение для $\overrightarrow{A_2B_2}$. Умножим обе его части на коэффициент $k$:

$k \cdot \overrightarrow{A_2B_2} = k \cdot \overrightarrow{A_2A_3} + k \cdot \overrightarrow{A_3B_3} + k \cdot \overrightarrow{B_3B_2}$

Используя данные из условия, а также то, что $k \cdot \overrightarrow{B_3B_2} = -k \cdot \overrightarrow{B_2B_3} = -\overrightarrow{B_1B_2}$, подставим их в полученное равенство:

$k \cdot \overrightarrow{A_2B_2} = \overrightarrow{A_1A_2} + k \cdot \overrightarrow{A_3B_3} - \overrightarrow{B_1B_2}$ (2)

Сложим почленно равенства (1) и (2):

$\overrightarrow{A_2B_2} + k \cdot \overrightarrow{A_2B_2} = (\overrightarrow{A_1B_1} - \overrightarrow{A_1A_2} + \overrightarrow{B_1B_2}) + (\overrightarrow{A_1A_2} + k \cdot \overrightarrow{A_3B_3} - \overrightarrow{B_1B_2})$

После сокращения противоположных векторов ($\overrightarrow{A_1A_2}$ и $-\overrightarrow{A_1A_2}$, $\overrightarrow{B_1B_2}$ и $-\overrightarrow{B_1B_2}$) получим:

$(1+k) \cdot \overrightarrow{A_2B_2} = \overrightarrow{A_1B_1} + k \cdot \overrightarrow{A_3B_3}$

Это ключевое соотношение, которое позволит доказать оба утверждения.

Для доказательства того, что прямые $A_1B_1, A_2B_2, A_3B_3$ параллельны одной плоскости, необходимо и достаточно доказать, что их направляющие векторы $\overrightarrow{A_1B_1}$, $\overrightarrow{A_2B_2}$ и $\overrightarrow{A_3B_3}$ компланарны (лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях).

Из выведенного выше соотношения $(1+k) \cdot \overrightarrow{A_2B_2} = \overrightarrow{A_1B_1} + k \cdot \overrightarrow{A_3B_3}$ (при условии $k \neq -1$) можно выразить вектор $\overrightarrow{A_2B_2}$:

$\overrightarrow{A_2B_2} = \frac{1}{1+k}\overrightarrow{A_1B_1} + \frac{k}{1+k}\overrightarrow{A_3B_3}$

Это равенство показывает, что вектор $\overrightarrow{A_2B_2}$ является линейной комбинацией векторов $\overrightarrow{A_1B_1}$ и $\overrightarrow{A_3B_3}$. По определению, это означает, что три вектора $\overrightarrow{A_1B_1}$, $\overrightarrow{A_2B_2}$ и $\overrightarrow{A_3B_3}$ компланарны. Если векторы $\overrightarrow{A_1B_1}$ и $\overrightarrow{A_3B_3}$ не коллинеарны, то $\overrightarrow{A_2B_2}$ лежит в плоскости, определяемой этими двумя векторами. Если же они коллинеарны, то и $\overrightarrow{A_2B_2}$ им коллинеарен, и все три вектора лежат на одной прямой, что является частным случаем компланарности.

Так как направляющие векторы прямых $A_1B_1, A_2B_2, A_3B_3$ компланарны, то и сами прямые параллельны одной плоскости.

Ответ: Доказано.

В ходе общего доказательства было получено ключевое соотношение:

$(1+k) \cdot \overrightarrow{A_2B_2} = \overrightarrow{A_1B_1} + k \cdot \overrightarrow{A_3B_3}$

Для того чтобы получить требуемую формулу, достаточно разделить обе части этого равенства на $(1+k)$. Это действие корректно при условии, что $k \neq -1$, что обычно подразумевается в таких задачах.

$\overrightarrow{A_2B_2} = \frac{\overrightarrow{A_1B_1} + k \cdot \overrightarrow{A_3B_3}}{1+k}$

Таким образом, требуемое равенство доказано.

Ответ: Доказано.