Номер 1231, страница 167 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1231. Точки $P, Q, R, S$ — середины сторон $AB, BC, CD, DA$ четырехугольника $ABCD$, отрезки $AR$ и $DQ, DQ$ и $CP, CP$ и $BS, BS$ и $AR$ пересекаются в точках $A_1, D_1, C_1, B_1$ соответственно (рис. 361).

Докажите, что если $A_1B_1C_1D_1$ — параллелограмм, то $ABCD$ — также параллелограмм.

Рис. 361

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Пусть A, B, C, D — вершины четырехугольника, а $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ — их радиус-векторы относительно некоторого начала координат. Тогда радиус-векторы середин сторон P, Q, R, S будут равны:

$\vec{p} = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$

$\vec{q} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$

$\vec{r} = \frac{\vec{c}+\vec{d}}{2}$

$\vec{s} = \frac{\vec{d}+\vec{a}}{2}$

По условию, точки $A_1, B_1, C_1, D_1$ являются точками пересечения следующих отрезков:

$A_1 = AR \cap DQ$

$B_1 = BS \cap AR$

$C_1 = CP \cap BS$

$D_1 = DQ \cap CP$

Из этих определений следует, что:

• Точки $A_1$ и $B_1$ лежат на отрезке $AR$.
• Точки $B_1$ и $C_1$ лежат на отрезке $BS$.
• Точки $C_1$ и $D_1$ лежат на отрезке $CP$.
• Точки $D_1$ и $A_1$ лежат на отрезке $DQ$.

Таким образом, стороны четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$ лежат на прямых $AR, BS, CP, DQ$.

Условие, что $A_1B_1C_1D_1$ — параллелограмм, означает, что его противоположные стороны параллельны:

$A_1B_1 \parallel D_1C_1$ и $B_1C_1 \parallel A_1D_1$.

Поскольку отрезок $A_1B_1$ лежит на прямой $AR$, а отрезок $D_1C_1$ (или $C_1D_1$) лежит на прямой $CP$, то первое условие параллельности означает, что прямые $AR$ и $CP$ параллельны: $AR \parallel CP$.

Аналогично, поскольку $B_1C_1$ лежит на $BS$, а $A_1D_1$ — на $DQ$, второе условие параллельности означает, что $BS \parallel DQ$.

Итак, задача сводится к тому, чтобы доказать: если $AR \parallel CP$ и $BS \parallel DQ$, то $ABCD$ — параллелограмм.

Рассмотрим условие $AR \parallel CP$. Это эквивалентно коллинеарности векторов $\vec{AR}$ и $\vec{CP}$.

$\vec{AR} = \vec{r} - \vec{a} = \frac{\vec{c}+\vec{d}}{2} - \vec{a}$

$\vec{CP} = \vec{p} - \vec{c} = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2} - \vec{c}$

Условие параллельности означает, что $\vec{AR} = k \cdot \vec{CP}$ для некоторого скаляра $k \ne 0$.

$\frac{\vec{c}+\vec{d}}{2} - \vec{a} = k \left(\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2} - \vec{c}\right)$

$\vec{c}+\vec{d}-2\vec{a} = k(\vec{a}+\vec{b}-2\vec{c})$

Перегруппируем члены, чтобы получить соотношение между векторами вершин:

$(k+2)\vec{a} + k\vec{b} - (2k+1)\vec{c} - \vec{d} = \vec{0}$ (1)

Теперь рассмотрим второе условие $BS \parallel DQ$. Это эквивалентно коллинеарности векторов $\vec{BS}$ и $\vec{DQ}$.

$\vec{BS} = \vec{s} - \vec{b} = \frac{\vec{d}+\vec{a}}{2} - \vec{b}$

$\vec{DQ} = \vec{q} - \vec{d} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2} - \vec{d}$

Условие параллельности означает, что $\vec{BS} = m \cdot \vec{DQ}$ для некоторого скаляра $m \ne 0$.

$\frac{\vec{d}+\vec{a}}{2} - \vec{b} = m \left(\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2} - \vec{d}\right)$

$\vec{a}+\vec{d}-2\vec{b} = m(\vec{b}+\vec{c}-2\vec{d})$

Перегруппируем члены:

$\vec{a} - (m+2)\vec{b} - m\vec{c} + (2m+1)\vec{d} = \vec{0}$ (2)

Для невырожденного четырехугольника $ABCD$ существует единственное (с точностью до пропорциональности) аффинное соотношение между радиус-векторами его вершин. Следовательно, векторные коэффициенты в уравнениях (1) и (2) должны быть пропорциональны.

$\frac{k+2}{1} = \frac{k}{-(m+2)} = \frac{-(2k+1)}{-m} = \frac{-1}{2m+1}$

Приравняем первое и последнее отношения:

$(k+2)(2m+1) = -1 \implies 2mk+k+4m+2 = -1 \implies 2mk+k+4m+3=0$

Приравняем второе и последнее отношения:

$k(2m+1) = -(-(m+2)) \implies 2mk+k = m+2 \implies 2mk+k-m-2=0$

Мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными $k$ и $m$. Вычтем второе уравнение из первого:

$(2mk+k+4m+3) - (2mk+k-m-2) = 0$

$5m+5=0 \implies m = -1$

Подставим $m=-1$ во второе уравнение:

$2k(-1)+k-(-1)-2=0 \implies -2k+k+1-2=0 \implies -k-1=0 \implies k=-1$

Итак, мы нашли, что $k=-1$ и $m=-1$. Подставим значение $k=-1$ в уравнение (1):

$(-1+2)\vec{a} + (-1)\vec{b} - (2(-1)+1)\vec{c} - \vec{d} = \vec{0}$

$\vec{a} - \vec{b} - (-1)\vec{c} - \vec{d} = \vec{0}$

$\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} - \vec{d} = \vec{0}$

Это равенство можно переписать в виде $\vec{a}+\vec{c} = \vec{b}+\vec{d}$. Это является необходимым и достаточным условием того, что четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм (его диагонали AC и BD имеют общую середину). То же самое равенство получается при подстановке $m=-1$ в уравнение (2).

Таким образом, из того, что $A_1B_1C_1D_1$ — параллелограмм, следует, что $ABCD$ — также параллелограмм.

Ответ: Что и требовалось доказать.