Номер 1235, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1235. Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ лежат в разных плоскостях. Прямые $l_1$, $l_2$, $l_3$ проходят соответственно через середины пар отрезков $AB_1$ и $A_1B$, $BC_1$ и $B_1C$, $CA_1$ и $C_1A$. Докажите, что прямые $l_1$, $l_2$, $l_3$ параллельны одной плоскости.

Для доказательства утверждения воспользуемся векторным методом. Введем в пространстве произвольную точку $O$ в качестве начала координат. Положение вершин треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ будем задавать радиус-векторами $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ и $\vec{a_1}, \vec{b_1}, \vec{c_1}$ соответственно.

Три прямые параллельны одной плоскости тогда и только тогда, когда их направляющие векторы компланарны. Найдем направляющие векторы для каждой из прямых $l_1, l_2, l_3$.

Прямая $l_1$ проходит через середины отрезков $AB_1$ и $A_1B$. Радиус-векторы этих середин равны $\frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b_1})$ и $\frac{1}{2}(\vec{a_1} + \vec{b})$. Направляющий вектор $\vec{d_1}$ прямой $l_1$ коллинеарен вектору, соединяющему эти точки:

$\vec{d_1} \parallel \frac{1}{2}(\vec{a_1} + \vec{b}) - \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b_1}) = \frac{1}{2}(\vec{a_1} - \vec{a} - (\vec{b_1} - \vec{b})) = \frac{1}{2}(\vec{AA_1} - \vec{BB_1})$

Прямая $l_2$ проходит через середины отрезков $BC_1$ и $B_1C$. Аналогично находим ее направляющий вектор $\vec{d_2}$:

$\vec{d_2} \parallel \frac{1}{2}(\vec{b_1} + \vec{c}) - \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c_1}) = \frac{1}{2}(\vec{b_1} - \vec{b} - (\vec{c_1} - \vec{c})) = \frac{1}{2}(\vec{BB_1} - \vec{CC_1})$

Прямая $l_3$ проходит через середины отрезков $CA_1$ и $C_1A$. Ее направляющий вектор $\vec{d_3}$:

$\vec{d_3} \parallel \frac{1}{2}(\vec{c_1} + \vec{a}) - \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{a_1}) = \frac{1}{2}(\vec{c_1} - \vec{c} - (\vec{a_1} - \vec{a})) = \frac{1}{2}(\vec{CC_1} - \vec{AA_1})$

Для проверки компланарности векторов $\vec{d_1}, \vec{d_2}, \vec{d_3}$ можно проверить компланарность коллинеарных им векторов. Возьмем векторы $\vec{u_1} = \vec{AA_1} - \vec{BB_1}$, $\vec{u_2} = \vec{BB_1} - \vec{CC_1}$ и $\vec{u_3} = \vec{CC_1} - \vec{AA_1}$. Векторы компланарны, если они линейно зависимы, то есть существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому вектору. Найдем сумму этих векторов:

$\vec{u_1} + \vec{u_2} + \vec{u_3} = (\vec{AA_1} - \vec{BB_1}) + (\vec{BB_1} - \vec{CC_1}) + (\vec{CC_1} - \vec{AA_1})$

$\vec{u_1} + \vec{u_2} + \vec{u_3} = \vec{AA_1} - \vec{BB_1} + \vec{BB_1} - \vec{CC_1} + \vec{CC_1} - \vec{AA_1} = \vec{0}$

Так как сумма векторов $\vec{u_1}, \vec{u_2}, \vec{u_3}$ равна нулевому вектору, эти векторы линейно зависимы и, следовательно, компланарны. Это означает, что существует плоскость, которой все три вектора параллельны. Поскольку направляющие векторы прямых $l_1, l_2, l_3$ коллинеарны векторам $\vec{u_1}, \vec{u_2}, \vec{u_3}$ соответственно, то и прямые $l_1, l_2, l_3$ параллельны этой общей плоскости. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.