Номер 1242, страница 169 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1242. Имеется треугольная пирамида $ABCD$ и точка $M$. Медианы треугольников $BCD$, $ACD$, $ABD$, $ABC$ пересекаются в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ соответственно. Докажите, что прямые, проведенные через точки $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ параллельно соответственно прямым $MA$, $MB$, $MC$, $MD$, пересекаются в одной точке.

Для решения задачи воспользуемся методами векторной алгебры. Введем в пространстве произвольную точку O в качестве начала координат. Тогда каждой точке пространства (например, A) будет соответствовать ее радиус-вектор $\vec{a} = \vec{OA}$. Радиус-векторы точек A, B, C, D, M будем обозначать как $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{m}$ соответственно.

Точки $A_1, B_1, C_1, D_1$ являются точками пересечения медиан (центроидами) граней пирамиды. Радиус-вектор центроида треугольника равен среднему арифметическому радиус-векторов его вершин. Таким образом, мы можем выразить радиус-векторы точек $A_1, B_1, C_1, D_1$:

• $A_1$ - центроид $\triangle BCD$, поэтому $\vec{a_1} = \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3}$.
• $B_1$ - центроид $\triangle ACD$, поэтому $\vec{b_1} = \frac{\vec{a} + \vec{c} + \vec{d}}{3}$.
• $C_1$ - центроид $\triangle ABD$, поэтому $\vec{c_1} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{d}}{3}$.
• $D_1$ - центроид $\triangle ABC$, поэтому $\vec{d_1} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$.

Рассмотрим гомотетию (центральное подобие) $H$ с центром в точке $G$ - центроиде тетраэдра $ABCD$, и коэффициентом $k = -\frac{1}{3}$. Радиус-вектор центроида тетраэдра $G$ равен $\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$.

Найдем образы вершин тетраэдра $A, B, C, D$ при этой гомотетии. Для произвольной точки $X$ ее образ $X'$ определяется векторным равенством $\vec{GX'} = k \cdot \vec{GX}$. Найдем образ вершины $A$. Обозначим его $A'$.$\vec{GA'} = -\frac{1}{3}\vec{GA}$, что равносильно $\vec{a'} - \vec{g} = -\frac{1}{3}(\vec{a} - \vec{g})$. Выразим $\vec{a'}$:$\vec{a'} = \vec{g} - \frac{1}{3}(\vec{a} - \vec{g}) = \frac{4}{3}\vec{g} - \frac{1}{3}\vec{a} = \frac{4}{3}\left(\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}\right) - \frac{1}{3}\vec{a} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3} - \frac{1}{3}\vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3}$.

Мы видим, что $\vec{a'} = \vec{a_1}$. Это означает, что гомотетия $H$ переводит вершину $A$ в точку $A_1$. Аналогично можно показать, что:

• $H(B) = B_1$
• $H(C) = C_1$
• $H(D) = D_1$

Таким образом, тетраэдр $A_1B_1C_1D_1$ является образом тетраэдра $ABCD$ при гомотетии $H$ с центром в $G$ и коэффициентом $k = -\frac{1}{3}$.

Теперь рассмотрим произвольную точку $M$. Пусть ее образом при гомотетии $H$ будет точка $P$. Тогда, по определению гомотетии, $\vec{GP} = -\frac{1}{3}\vec{GM}$. Одним из свойств гомотетии является то, что она переводит любую прямую в параллельную ей прямую. Рассмотрим прямую $MA$. Ее образом при гомотетии $H$ будет прямая, проходящая через образы точек $M$ и $A$, то есть прямая $PA_1$. По свойству гомотетии, прямая $PA_1$ параллельна прямой $MA$.

Прямая, о которой говорится в условии задачи — это прямая, проходящая через точку $A_1$ параллельно прямой $MA$. Мы только что установили, что это и есть прямая $PA_1$.

Применим те же рассуждения к остальным вершинам и соответствующим им прямым:

• Прямая, проходящая через $B_1$ и параллельная $MB$, является образом прямой $MB$ при гомотетии $H$, а значит, это прямая $PB_1$.
• Прямая, проходящая через $C_1$ и параллельная $MC$, является образом прямой $MC$, а значит, это прямая $PC_1$.
• Прямая, проходящая через $D_1$ и параллельная $MD$, является образом прямой $MD$, а значит, это прямая $PD_1$.

Все четыре построенные прямые ($PA_1$, $PB_1$, $PC_1$ и $PD_1$) по построению проходят через одну и ту же точку $P$. Это и доказывает, что прямые, проведенные через точки $A_1, B_1, C_1, D_1$ параллельно соответственно прямым $MA, MB, MC, MD$, пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.