Номер 1243, страница 169 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1243. Имеется треугольная пирамида ABCD и точка M. Точки A₁, B₁, C₁, D₁ — точки пересечения прямых MA, MB, MC, MD соответственно с плоскостями BCD, ACD, ABD, ABC (рис. 365). Докажите, что выполняется равенство $ \frac{MA_1}{AA_1} + \frac{MB_1}{BB_1} + \frac{MC_1}{CC_1} + \frac{MD_1}{DD_1} = 1 $, в отношениях которого учитываются направления отрезков.

Рис. 365

Для доказательства данного равенства воспользуемся методом, основанным на отношении объемов пирамид. Пусть $V$ — это объем всей треугольной пирамиды $ABCD$.

1. Рассмотрим первое слагаемое $\frac{MA_1}{AA_1}$.

Точки $A$, $M$ и $A_1$ лежат на одной прямой. Сравним объемы двух пирамид: $M-BCD$ и $A-BCD$. У этих пирамид общее основание — грань $BCD$. Отношение их объемов равно отношению высот, опущенных из вершин $M$ и $A$ на плоскость основания $BCD$. Обозначим эти высоты $h_M$ и $h_A$ соответственно.

$\frac{V_{M-BCD}}{V_{A-BCD}} = \frac{\frac{1}{3} S_{BCD} \cdot h_M}{\frac{1}{3} S_{BCD} \cdot h_A} = \frac{h_M}{h_A}$

Поскольку высоты $h_M$ и $h_A$ перпендикулярны одной и той же плоскости $BCD$, а точки $A$, $M$, $A_1$ лежат на одной прямой, из подобия треугольников (которые можно увидеть в сечении, перпендикулярном плоскости $BCD$ и проходящем через прямую $AA_1$) следует, что отношение высот равно отношению отрезков:

$\frac{h_M}{h_A} = \frac{MA_1}{AA_1}$

Объем пирамиды $A-BCD$ равен объему всей пирамиды $V$. Таким образом, мы получаем:

$\frac{MA_1}{AA_1} = \frac{V_{M-BCD}}{V_{A-BCD}} = \frac{V_{M-BCD}}{V}$

2. Аналогично найдем выражения для остальных слагаемых.

Для слагаемого $\frac{MB_1}{BB_1}$, рассматривая пирамиды $M-ACD$ и $B-ACD$ с общим основанием $ACD$, получаем:

$\frac{MB_1}{BB_1} = \frac{V_{M-ACD}}{V_{B-ACD}} = \frac{V_{M-ACD}}{V}$

Для слагаемого $\frac{MC_1}{CC_1}$, рассматривая пирамиды $M-ABD$ и $C-ABD$ с общим основанием $ABD$, получаем:

$\frac{MC_1}{CC_1} = \frac{V_{M-ABD}}{V_{C-ABD}} = \frac{V_{M-ABD}}{V}$

Для слагаемого $\frac{MD_1}{DD_1}$, рассматривая пирамиды $M-ABC$ и $D-ABC$ с общим основанием $ABC$, получаем:

$\frac{MD_1}{DD_1} = \frac{V_{M-ABC}}{V_{D-ABC}} = \frac{V_{M-ABC}}{V}$

3. Теперь сложим все четыре полученных отношения:

$\frac{MA_1}{AA_1} + \frac{MB_1}{BB_1} + \frac{MC_1}{CC_1} + \frac{MD_1}{DD_1} = \frac{V_{M-BCD}}{V} + \frac{V_{M-ACD}}{V} + \frac{V_{M-ABD}}{V} + \frac{V_{M-ABC}}{V}$

$\frac{MA_1}{AA_1} + \frac{MB_1}{BB_1} + \frac{MC_1}{CC_1} + \frac{MD_1}{DD_1} = \frac{V_{M-BCD} + V_{M-ACD} + V_{M-ABD} + V_{M-ABC}}{V}$

4. Точка $M$ находится внутри пирамиды $ABCD$. Четыре пирамиды с общей вершиной $M$ ($M-BCD$, $M-ACD$, $M-ABD$ и $M-ABC$) полностью и без пересечений составляют всю пирамиду $ABCD$. Следовательно, сумма их объемов равна объему пирамиды $ABCD$.

$V_{M-BCD} + V_{M-ACD} + V_{M-ABD} + V_{M-ABC} = V_{ABCD} = V$

Подставляя это в наше выражение, получаем:

$\frac{V}{V} = 1$

Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство $\frac{MA_1}{AA_1} + \frac{MB_1}{BB_1} + \frac{MC_1}{CC_1} + \frac{MD_1}{DD_1} = 1$ доказано.