Номер 1245, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1245. Точка G на отрезке DM, где M — точка пересечения медиан треугольника ABC, выбрана так, что $DG = 3GM$. Прямая $l$, проведенная через точку G, пересекает плоскости BCD, CDA, DAB, ABC в точках $A_1, B_1, C_1, D_1$ соответственно. Докажите, что выполняется равенство $\frac{1}{GA_1} + \frac{1}{GB_1} + \frac{1}{GC_1} + \frac{1}{GD_1} = 0$, в отношениях которого учитываются направления отрезков.

Для решения данной задачи воспользуемся векторным методом. Введем систему координат с началом в точке D. Тогда радиус-векторы вершин тетраэдра будут $\vec{DA} = \vec{a}$, $\vec{DB} = \vec{b}$, $\vec{DC} = \vec{c}$ и $\vec{DD} = \vec{0}$.

Найдем радиус-вектор $\vec{m} = \vec{DM}$ точки M, которая является точкой пересечения медиан (центроидом) треугольника ABC. Радиус-вектор центроида равен среднему арифметическому радиус-векторов его вершин:$$ \vec{m} = \frac{\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC}}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} $$

Точка G лежит на отрезке DM и делит его в отношении $DG:GM = 3:1$. Найдем радиус-вектор $\vec{g} = \vec{DG}$ точки G, используя формулу деления отрезка в заданном отношении:$$ \vec{g} = \frac{1 \cdot \vec{DD} + 3 \cdot \vec{DM}}{1+3} = \frac{1 \cdot \vec{0} + 3 \cdot \vec{m}}{4} = \frac{3}{4} \vec{m} $$Подставим выражение для $\vec{m}$:$$ \vec{g} = \frac{3}{4} \left( \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} \right) = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4} $$Заметим, что точка G является центроидом (барицентром) всего тетраэдра ABCD, так как ее радиус-вектор равен $\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{0}}{4}$.

Прямая $l$, проходящая через точку G, может быть задана параметрическим уравнением $\vec{r}(t) = \vec{g} + t\vec{e}$, где $\vec{e}$ — направляющий вектор прямой $l$, а $t$ — параметр. Точки пересечения $A_1, B_1, C_1, D_1$ соответствуют определенным значениям параметра $t_{A_1}, t_{B_1}, t_{C_1}, t_{D_1}$. Вектор $\vec{GA_1}$ будет равен $\vec{r}(t_{A_1}) - \vec{g} = t_{A_1}\vec{e}$. Величина $GA_1$ (с учетом направления) пропорциональна параметру $t_{A_1}$. Таким образом, доказать, что $\sum \frac{1}{GA_i} = 0$, эквивалентно доказательству того, что $\sum \frac{1}{t_i} = 0$.

Найдем значения параметров для каждой точки пересечения.

Пересечение с плоскостью BCD (точка $A_1$)
Эта плоскость проходит через начало координат D и определяется векторами $\vec{b}$ и $\vec{c}$. Уравнение плоскости: $[\vec{r}, \vec{b}, \vec{c}] = 0$, где $[\cdot, \cdot, \cdot]$ — смешанное произведение. Подставляем уравнение прямой: $[\vec{g} + t_{A_1}\vec{e}, \vec{b}, \vec{c}] = 0$. Раскрывая по свойству линейности: $[\vec{g}, \vec{b}, \vec{c}] + t_{A_1}[\vec{e}, \vec{b}, \vec{c}] = 0$. Отсюда $t_{A_1} = - \frac{[\vec{g}, \vec{b}, \vec{c}]}{[\vec{e}, \vec{b}, \vec{c}]}$. Тогда $\frac{1}{t_{A_1}} = - \frac{[\vec{e}, \vec{b}, \vec{c}]}{[\vec{g}, \vec{b}, \vec{c}]}$. Вычислим знаменатель: $[\vec{g}, \vec{b}, \vec{c}] = [\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{4}, \vec{b}, \vec{c}] = \frac{1}{4}([\vec{a},\vec{b},\vec{c}] + [\vec{b},\vec{b},\vec{c}] + [\vec{c},\vec{b},\vec{c}]) = \frac{1}{4}[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]$. Следовательно, $\frac{1}{t_{A_1}} = - \frac{[\vec{e}, \vec{b}, \vec{c}]}{\frac{1}{4}[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}$.

Пересечение с плоскостью CDA (точка $B_1$)
Уравнение плоскости: $[\vec{r}, \vec{c}, \vec{a}] = 0$. Аналогично, $\frac{1}{t_{B_1}} = - \frac{[\vec{e}, \vec{c}, \vec{a}]}{[\vec{g}, \vec{c}, \vec{a}]}$. Знаменатель: $[\vec{g}, \vec{c}, \vec{a}] = [\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{4}, \vec{c}, \vec{a}] = \frac{1}{4}[\vec{b},\vec{c},\vec{a}] = \frac{1}{4}[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]$. Следовательно, $\frac{1}{t_{B_1}} = - \frac{[\vec{e}, \vec{c}, \vec{a}]}{\frac{1}{4}[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}$.

Пересечение с плоскостью DAB (точка $C_1$)
Уравнение плоскости: $[\vec{r}, \vec{a}, \vec{b}] = 0$.$\frac{1}{t_{C_1}} = - \frac{[\vec{e}, \vec{a}, \vec{b}]}{[\vec{g}, \vec{a}, \vec{b}]}$. Знаменатель: $[\vec{g}, \vec{a}, \vec{b}] = [\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{4}, \vec{a}, \vec{b}] = \frac{1}{4}[\vec{c},\vec{a},\vec{b}] = \frac{1}{4}[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]$. Следовательно, $\frac{1}{t_{C_1}} = - \frac{[\vec{e}, \vec{a}, \vec{b}]}{\frac{1}{4}[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}$.

Пересечение с плоскостью ABC (точка $D_1$)
Эта плоскость проходит через точки A, B, C. Ее уравнение: $[\vec{r}-\vec{a}, \vec{b}-\vec{a}, \vec{c}-\vec{a}]=0$. Подставляем уравнение прямой: $[\vec{g} + t_{D_1}\vec{e} - \vec{a}, \vec{b}-\vec{a}, \vec{c}-\vec{a}]=0$.$[\vec{g}-\vec{a}, \vec{b}-\vec{a}, \vec{c}-\vec{a}] + t_{D_1}[\vec{e}, \vec{b}-\vec{a}, \vec{c}-\vec{a}]=0$.$\frac{1}{t_{D_1}} = - \frac{[\vec{e}, \vec{b}-\vec{a}, \vec{c}-\vec{a}]}{[\vec{g}-\vec{a}, \vec{b}-\vec{a}, \vec{c}-\vec{a}]}$. Вычислим знаменатель:$\vec{g}-\vec{a} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{4} - \vec{a} = \frac{-3\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{4}$.$[\vec{g}-\vec{a}, \vec{b}-\vec{a}, \vec{c}-\vec{a}] = [\frac{-3\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{4}, \vec{b}-\vec{a}, \vec{c}-\vec{a}] = \frac{1}{4}(-3[\vec{a},\vec{b}-\vec{a},\vec{c}-\vec{a}] + [\vec{b},\vec{b}-\vec{a},\vec{c}-\vec{a}] + [\vec{c},\vec{b}-\vec{a},\vec{c}-\vec{a}])$. Используя свойства смешанного произведения, $[\vec{a},\vec{b}-\vec{a},\vec{c}-\vec{a}] = [\vec{a},\vec{b},\vec{c}]$, $[\vec{b},\vec{b}-\vec{a},\vec{c}-\vec{a}] = [\vec{b},-\vec{a},\vec{c}-\vec{a}]=[\vec{b},-\vec{a},\vec{c}]=-[\vec{b},\vec{a},\vec{c}]=[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]$. Или проще: $[\vec{X}, \vec{Y}-\vec{X}, \vec{Z}-\vec{X}] = [\vec{X}, \vec{Y}, \vec{Z}]$. Таким образом, $[\vec{g}-\vec{a}, \vec{b}-\vec{a}, \vec{c}-\vec{a}] = \frac{1}{4}(-3[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] + [\vec{b},\vec{b},\vec{c}] + [\vec{c},\vec{b},\vec{c}]) = -\frac{3}{4}[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]$. Моя предыдущая выкладка была неверна. Пересчитаем:$[\frac{-3\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{4}, \vec{b}-\vec{a}, \vec{c}-\vec{a}] = \frac{1}{4}(-3[\vec{a}, \vec{b}-\vec{a}, \vec{c}-\vec{a}] + [\vec{b}, \vec{b}-\vec{a}, \vec{c}-\vec{a}] + [\vec{c}, \vec{b}-\vec{a}, \vec{c}-\vec{a}])$.$= \frac{1}{4}(-3[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] + [\vec{b}, -\vec{a}, \vec{c}-\vec{a}] + [\vec{c}, \vec{b}-\vec{a}, -\vec{a}])$.$= \frac{1}{4}(-3[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] + [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}-\vec{a}] + [\vec{a}, \vec{c}, \vec{b}-\vec{a}])$.$= \frac{1}{4}(-3[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] + [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] + [\vec{a}, \vec{c}, \vec{b}]) = \frac{1}{4}(-3[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] + [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] - [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]) = -\frac{3}{4}[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$. Да, вычисление верное. Знаменатель равен $-\frac{3}{4}[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$. Теперь числитель: $[\vec{e}, \vec{b}-\vec{a}, \vec{c}-\vec{a}] = [\vec{e},\vec{b},\vec{c}] - [\vec{e},\vec{b},\vec{a}] - [\vec{e},\vec{a},\vec{c}] = [\vec{e},\vec{b},\vec{c}] + [\vec{e},\vec{a},\vec{b}] + [\vec{e},\vec{c},\vec{a}]$.$\frac{1}{t_{D_1}} = - \frac{[\vec{e},\vec{b},\vec{c}] + [\vec{e},\vec{a},\vec{b}] + [\vec{e},\vec{c},\vec{a}]}{-\frac{3}{4}[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}$. Что-то не сходится. Перепроверим вычисление радиус-вектора G.$M = \frac{A+B+C}{3}$. G делит DM в отношении $DG=3GM$. $\vec{g}-\vec{d} = 3(\vec{m}-\vec{g})$. $4\vec{g} = 3\vec{m}+\vec{d}$. С началом в D: $\vec{g} = \frac{3\vec{m}+\vec{d}}{4} = \frac{3(\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}) + \vec{0}}{4} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{4}$. Все верно. Может, ошибка в вычислении знаменателя для $t_{D_1}$?$[\vec{g}-\vec{a}, \vec{b}-\vec{a}, \vec{c}-\vec{a}] = [\frac{\vec{b}+\vec{c}-3\vec{a}}{4}, \vec{b}-\vec{a}, \vec{c}-\vec{a}]$. Сделаем замену $\vec{u}=\vec{a}, \vec{v}=\vec{b}, \vec{w}=\vec{c}$.$[\frac{\vec{v}+\vec{w}-3\vec{u}}{4}, \vec{v}-\vec{u}, \vec{w}-\vec{u}] = \frac{1}{4}([\vec{v}, \vec{v}-\vec{u}, \vec{w}-\vec{u}] + [\vec{w}, \vec{v}-\vec{u}, \vec{w}-\vec{u}] - 3[\vec{u}, \vec{v}-\vec{u}, \vec{w}-\vec{u}])$.$[\vec{v}, \vec{v}-\vec{u}, \vec{w}-\vec{u}] = [\vec{v}, -\vec{u}, \vec{w}-\vec{u}] = -[\vec{v},\vec{u},\vec{w}] + [\vec{v},\vec{u},\vec{u}] = -[\vec{v},\vec{u},\vec{w}] = [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]$.$[\vec{w}, \vec{v}-\vec{u}, \vec{w}-\vec{u}] = [\vec{w}, \vec{v}-\vec{u}, -\vec{u}] = [\vec{w},\vec{v},-\vec{u}] = -[\vec{w},\vec{v},\vec{u}] = [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]$.$-3[\vec{u}, \vec{v}-\vec{u}, \vec{w}-\vec{u}] = -3[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]$. Итого: $\frac{1}{4}([\vec{u},\vec{v},\vec{w}] + [\vec{u},\vec{v},\vec{w}] - 3[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]) = \frac{1}{4}(-\frac{1}{1}[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]) = -\frac{1}{4}[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]$. Вот! Ошибка была в коэффициенте. Итак, знаменатель равен $-\frac{1}{4}[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$. Тогда $\frac{1}{t_{D_1}} = - \frac{[\vec{e},\vec{b},\vec{c}] + [\vec{e},\vec{a},\vec{b}] + [\vec{e},\vec{c},\vec{a}]}{-\frac{1}{4}[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]} = \frac{[\vec{e},\vec{b},\vec{c}] + [\vec{e},\vec{a},\vec{b}] + [\vec{e},\vec{c},\vec{a}]}{\frac{1}{4}[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}$.

Теперь сложим все четыре величины. Обозначим $V = \frac{1}{4}[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$.$$ \sum_{i} \frac{1}{t_i} = \frac{1}{t_{A_1}} + \frac{1}{t_{B_1}} + \frac{1}{t_{C_1}} + \frac{1}{t_{D_1}} $$$$ = \frac{1}{V} \left( -[\vec{e}, \vec{b}, \vec{c}] - [\vec{e}, \vec{c}, \vec{a}] - [\vec{e}, \vec{a}, \vec{b}] + ([\vec{e},\vec{b},\vec{c}] + [\vec{e},\vec{a},\vec{b}] + [\vec{e},\vec{c},\vec{a}]) \right) $$Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:$$ = \frac{1}{V} ( -[\vec{e}, \vec{b}, \vec{c}] + [\vec{e}, \vec{b}, \vec{c}] - [\vec{e}, \vec{c}, \vec{a}] + [\vec{e}, \vec{c}, \vec{a}] - [\vec{e}, \vec{a}, \vec{b}] + [\vec{e}, \vec{a}, \vec{b}] ) $$Все слагаемые в числителе попарно сокращаются.$$ \sum_{i} \frac{1}{t_i} = \frac{0}{V} = 0 $$Это доказывает, что $\frac{1}{GA_1} + \frac{1}{GB_1} + \frac{1}{GC_1} + \frac{1}{GD_1} = 0$, где $GA_i$ — величины, пропорциональные $t_i$, т.е. длины с учетом знака (направления). Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство $\frac{1}{GA_1} + \frac{1}{GB_1} + \frac{1}{GC_1} + \frac{1}{GD_1} = 0$ доказано.