Номер 1249, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1249. Пусть даны отрезки $AB$ и $CD$. Точки $M$ и $M_1$ разделяют соответственно отрезок $AB$ внутренним и внешним образом в отношении $\frac{AC}{BD}$, а точки $N$ и $N_1$ разделяют в таком же отношении отрезок $CD$. Докажите, что отрезки $MN$ и $M_1N_1$ перпендикулярны.

Для решения задачи воспользуемся методом векторов. Введем радиус-векторы точек $A, B, C, D$, обозначив их соответственно $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$. Пусть отношение, в котором делятся отрезки, равно $\lambda = \frac{AC}{BD}$, где $AC$ и $BD$ — длины соответствующих отрезков.

По условию, точка $M$ делит отрезок $AB$ внутренним образом в отношении $\lambda$, а точка $M_1$ — внешним образом в том же отношении. Их радиус-векторы $\vec{m}$ и $\vec{m_1}$ выражаются формулами:

$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \lambda\vec{b}}{1 + \lambda}$, $\vec{m_1} = \frac{\vec{a} - \lambda\vec{b}}{1 - \lambda}$

Аналогично, для точек $N$ и $N_1$, делящих отрезок $CD$ в том же отношении $\lambda$:

$\vec{n} = \frac{\vec{c} + \lambda\vec{d}}{1 + \lambda}$, $\vec{n_1} = \frac{\vec{c} - \lambda\vec{d}}{1 - \lambda}$

Чтобы доказать перпендикулярность отрезков $MN$ и $M_1N_1$, необходимо показать, что скалярное произведение векторов $\vec{MN}$ и $\vec{M_1N_1}$ равно нулю. Найдем эти векторы:

$\vec{MN} = \vec{n} - \vec{m} = \frac{\vec{c} + \lambda\vec{d}}{1 + \lambda} - \frac{\vec{a} + \lambda\vec{b}}{1 + \lambda} = \frac{(\vec{c} - \vec{a}) + \lambda(\vec{d} - \vec{b})}{1 + \lambda}$

$\vec{M_1N_1} = \vec{n_1} - \vec{m_1} = \frac{\vec{c} - \lambda\vec{d}}{1 - \lambda} - \frac{\vec{a} - \lambda\vec{b}}{1 - \lambda} = \frac{(\vec{c} - \vec{a}) - \lambda(\vec{d} - \vec{b})}{1 - \lambda}$

Теперь вычислим их скалярное произведение:

$\vec{MN} \cdot \vec{M_1N_1} = \left(\frac{(\vec{c} - \vec{a}) + \lambda(\vec{d} - \vec{b})}{1 + \lambda}\right) \cdot \left(\frac{(\vec{c} - \vec{a}) - \lambda(\vec{d} - \vec{b})}{1 - \lambda}\right)$

$\vec{MN} \cdot \vec{M_1N_1} = \frac{1}{1 - \lambda^2} ((\vec{c} - \vec{a}) + \lambda(\vec{d} - \vec{b})) \cdot ((\vec{c} - \vec{a}) - \lambda(\vec{d} - \vec{b}))$

Используя формулу разности квадратов для скалярного произведения $(X+Y)\cdot(X-Y) = |X|^2 - |Y|^2$, и учитывая, что $\vec{c}-\vec{a} = \vec{AC}$ и $\vec{d}-\vec{b} = \vec{DB}$ (или $\vec{d}-\vec{b}$ — вектор, соединяющий B и D, длина которого BD), получаем:

$\vec{MN} \cdot \vec{M_1N_1} = \frac{1}{1 - \lambda^2} (|\vec{c} - \vec{a}|^2 - \lambda^2|\vec{d} - \vec{b}|^2) = \frac{1}{1 - \lambda^2} (AC^2 - \lambda^2 BD^2)$

По условию задачи $\lambda = \frac{AC}{BD}$, откуда $\lambda^2 = \frac{AC^2}{BD^2}$. Подставим это в полученное выражение:

$\vec{MN} \cdot \vec{M_1N_1} = \frac{1}{1 - \lambda^2} \left(AC^2 - \frac{AC^2}{BD^2} \cdot BD^2\right) = \frac{1}{1 - \lambda^2} (AC^2 - AC^2) = 0$

Поскольку скалярное произведение векторов $\vec{MN}$ и $\vec{M_1N_1}$ равно нулю, эти векторы перпендикулярны. Следовательно, отрезки $MN$ и $M_1N_1$ также перпендикулярны.

Ответ: Что и требовалось доказать.