Номер 1255, страница 171 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1255. Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром $O$, $CC_1$ — его высота. Выразите вектор $\vec{OC_1}$ через векторы $\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OC}$. Рис. 366

Пусть $O$ — начало координат. Тогда векторы $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$ являются радиус-векторами вершин треугольника $A$, $B$ и $C$. Так как $O$ — центр описанной окружности, длины этих векторов равны радиусу $R$ окружности: $|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = |\vec{OC}| = R$.

Точка $C_1$ является основанием высоты, опущенной из вершины $C$ на сторону $AB$. Это означает, что точка $C_1$ лежит на прямой $AB$, и вектор $\vec{CC_1}$ перпендикулярен вектору $\vec{AB}$.

Поскольку $C_1$ лежит на прямой $AB$, ее радиус-вектор $\vec{OC_1}$ можно представить как линейную комбинацию векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$. Удобно выразить положение $C_1$ относительно середины $M$ отрезка $AB$. Радиус-вектор точки $M$ равен $\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$. Любая точка на прямой $AB$ может быть представлена в виде $\vec{OP} = \vec{OM} + t \cdot \vec{AB}$ для некоторого скаляра $t$. Таким образом, для точки $C_1$ имеем:

$\vec{OC_1} = \vec{OM} + t \cdot \vec{AB} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB}) + t(\vec{OB} - \vec{OA})$

Теперь используем условие перпендикулярности: $\vec{CC_1} \perp \vec{AB}$, что в виде скалярного произведения векторов записывается как $\vec{CC_1} \cdot \vec{AB} = 0$.

Выразим вектор $\vec{CC_1}$ через известные векторы:

$\vec{CC_1} = \vec{OC_1} - \vec{OC} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB}) + t(\vec{OB} - \vec{OA}) - \vec{OC}$

Подставим это в уравнение скалярного произведения:

$(\frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB}) + t(\vec{OB} - \vec{OA}) - \vec{OC}) \cdot (\vec{OB} - \vec{OA}) = 0$

Раскроем скобки:

$\frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB}) \cdot (\vec{OB} - \vec{OA}) + t(\vec{OB} - \vec{OA}) \cdot (\vec{OB} - \vec{OA}) - \vec{OC} \cdot (\vec{OB} - \vec{OA}) = 0$

Рассмотрим каждое слагаемое. Первое слагаемое: $(\vec{OA} + \vec{OB}) \cdot (\vec{OB} - \vec{OA}) = |\vec{OB}|^2 - |\vec{OA}|^2 = R^2 - R^2 = 0$. Это также означает, что в равнобедренном треугольнике $OAB$ медиана $OM$ является высотой, то есть $\vec{OM} \perp \vec{AB}$.

Второе слагаемое: $(\vec{OB} - \vec{OA}) \cdot (\vec{OB} - \vec{OA}) = |\vec{OB} - \vec{OA}|^2 = |\vec{AB}|^2$.

Уравнение упрощается до:

$0 + t|\vec{AB}|^2 - \vec{OC} \cdot \vec{AB} = 0$

Отсюда находим параметр $t$:

$t = \frac{\vec{OC} \cdot \vec{AB}}{|\vec{AB}|^2} = \frac{\vec{OC} \cdot (\vec{OB} - \vec{OA})}{|\vec{OB} - \vec{OA}|^2}$

Теперь подставим найденное значение $t$ обратно в выражение для $\vec{OC_1}$:

$\vec{OC_1} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB}) + \frac{\vec{OC} \cdot (\vec{OB} - \vec{OA})}{|\vec{OB} - \vec{OA}|^2}(\vec{OB} - \vec{OA})$

Это и есть искомое выражение вектора $\vec{OC_1}$ через векторы $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$.

Ответ: $\vec{OC_1} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB}) + \frac{\vec{OC} \cdot (\vec{OB} - \vec{OA})}{|\vec{OB} - \vec{OA}|^2}(\vec{OB} - \vec{OA})$