Номер 1256, страница 171 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1256. Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром $O$, $CC_1$ — его биссектриса. Установите зависимость между углами треугольника, учитывая, что $\angle COC_1 = 90^\circ$.

Обозначим углы треугольника $ABC$ как $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$.

Рассмотрим треугольник $COC_1$. Так как $O$ — центр описанной окружности, а точки $C$ и $C_1$ лежат на этой окружности, отрезки $OC$ и $OC_1$ являются радиусами. Следовательно, $OC = OC_1$, и треугольник $COC_1$ — равнобедренный.

По условию задачи, угол при вершине этого треугольника $\angle COC_1 = 90^\circ$. Это означает, что $\triangle COC_1$ является прямоугольным равнобедренным треугольником. Углы при его основании $CC_1$ равны:

$\angle OCC_1 = \angle OC_1C = (180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.

Теперь выразим величину угла $\angle OCC_1$ через углы треугольника $ABC$. Этот угол образован радиусом $OC$ и биссектрисой $CC_1$ угла $\angle C$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $OBC$, где $OB = OC$ как радиусы. Центральный угол $\angle BOC$ и вписанный угол $\angle BAC$ (то есть $\angle A$) опираются на одну и ту же дугу $BC$. Поэтому $\angle BOC = 2\angle A$. Углы при основании треугольника $OBC$ равны: $\angle OCB = \angle OBC = (180^\circ - 2\angle A) / 2 = 90^\circ - \angle A$.

Аналогично, в равнобедренном треугольнике $OAC$ ($OA=OC$) центральный угол $\angle AOC = 2\angle B$, а углы при основании $\angle OCA = \angle OAC = 90^\circ - \angle B$.

Поскольку $CC_1$ является биссектрисой угла $\angle C$, она делит его пополам: $\angle ACC_1 = \angle BCC_1 = \angle C / 2$.

Угол $\angle OCC_1$ можно найти как модуль разности между углом $\angle OCB$ и углом $\angle BCC_1$ (или между $\angle OCA$ и $\angle ACC_1$).

$\angle OCC_1 = |\angle OCB - \angle BCC_1| = |(90^\circ - \angle A) - \angle C / 2|$.

Из свойства суммы углов треугольника $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$, выразим $\angle C / 2$:$\angle C / 2 = (180^\circ - \angle A - \angle B) / 2 = 90^\circ - (\angle A + \angle B) / 2$.

Подставим это выражение в формулу для $\angle OCC_1$:

$\angle OCC_1 = |(90^\circ - \angle A) - (90^\circ - (\angle A + \angle B) / 2)|$

$\angle OCC_1 = |90^\circ - \angle A - 90^\circ + (\angle A + \angle B) / 2|$

$\angle OCC_1 = |-\angle A + (\angle A + \angle B) / 2| = |\frac{-2\angle A + \angle A + \angle B}{2}| = |\frac{\angle B - \angle A}{2}| = \frac{|\angle A - \angle B|}{2}$.

Мы получили два выражения для величины угла $\angle OCC_1$:

1. Из свойств треугольника $COC_1$: $\angle OCC_1 = 45^\circ$.
2. Из связи с углами треугольника $ABC$: $\angle OCC_1 = \frac{|\angle A - \angle B|}{2}$.

Приравнивая эти два выражения, получаем искомую зависимость:

$\frac{|\angle A - \angle B|}{2} = 45^\circ$

$|\angle A - \angle B| = 90^\circ$

Ответ: Зависимость между углами треугольника выражается равенством $|\angle A - \angle B| = 90^\circ$.