Номер 1260, страница 172 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1260. В точке $H$ пересекаются прямые, содержащие высоты треугольника $ABC$. Учитывая, что $\angle BAC = \alpha$, $\angle ABC = \beta$, $\angle ACB = \gamma$, докажите, что выполняется равенство $\text{tg}\alpha \cdot \vec{HA} + \text{tg}\beta \cdot \vec{HB} + \text{tg}\gamma \cdot \vec{HC} = \vec{0}$.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Пусть $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$, а $H$ — его ортоцентр (точка пересечения высот). Для ортоцентра и центра описанной окружности справедливо равенство Эйлера (формула Сильвестра):

$\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$

Выразим векторы $\vec{HA}$, $\vec{HB}$ и $\vec{HC}$ через векторы, идущие из центра описанной окружности $O$.

$\vec{HA} = \vec{OA} - \vec{OH} = \vec{OA} - (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) = -(\vec{OB} + \vec{OC})$

$\vec{HB} = \vec{OB} - \vec{OH} = \vec{OB} - (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) = -(\vec{OA} + \vec{OC})$

$\vec{HC} = \vec{OC} - \vec{OH} = \vec{OC} - (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) = -(\vec{OA} + \vec{OB})$

Теперь подставим эти выражения в левую часть доказываемого равенства:

$S = \text{tg}\alpha \cdot \vec{HA} + \text{tg}\beta \cdot \vec{HB} + \text{tg}\gamma \cdot \vec{HC}$

$S = \text{tg}\alpha \cdot (-(\vec{OB} + \vec{OC})) + \text{tg}\beta \cdot (-(\vec{OA} + \vec{OC})) + \text{tg}\gamma \cdot (-(\vec{OA} + \vec{OB}))$

Сгруппируем слагаемые при векторах $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$:

$S = -(\text{tg}\beta + \text{tg}\gamma)\vec{OA} - (\text{tg}\alpha + \text{tg}\gamma)\vec{OB} - (\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta)\vec{OC}$

Для того чтобы доказать, что $S = \vec{0}$, нам нужно показать, что выполняется равенство:

$(\text{tg}\beta + \text{tg}\gamma)\vec{OA} + (\text{tg}\alpha + \text{tg}\gamma)\vec{OB} + (\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta)\vec{OC} = \vec{0}$

Известно, что центр описанной окружности $O$ является барицентром (центром масс) вершин треугольника $A, B, C$ с массами, пропорциональными $\sin(2\alpha)$, $\sin(2\beta)$ и $\sin(2\gamma)$ соответственно. Это означает, что выполняется следующее векторное равенство:

$\sin(2\alpha)\vec{OA} + \sin(2\beta)\vec{OB} + \sin(2\gamma)\vec{OC} = \vec{0}$

Докажем, что коэффициенты в нашем выражении пропорциональны этим массам. Найдем отношение коэффициента при $\vec{OA}$ к $\sin(2\alpha)$:

$\frac{\text{tg}\beta + \text{tg}\gamma}{\sin(2\alpha)} = \frac{\frac{\sin\beta}{\cos\beta} + \frac{\sin\gamma}{\cos\gamma}}{2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\frac{\sin\beta\cos\gamma + \cos\beta\sin\gamma}{\cos\beta\cos\gamma}}{2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\sin(\beta+\gamma)}{\cos\beta\cos\gamma \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha}$

Так как $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, то $\beta + \gamma = \pi - \alpha$, и следовательно, $\sin(\beta+\gamma) = \sin(\pi-\alpha) = \sin\alpha$. Подставим это в выражение:

$\frac{\sin\alpha}{2\cos\beta\cos\gamma\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{1}{2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}$

Аналогичные вычисления для других коэффициентов дадут тот же результат:

$\frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\gamma}{\sin(2\beta)} = \frac{1}{2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}$

$\frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\sin(2\gamma)} = \frac{1}{2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}$

Таким образом, мы показали, что существует коэффициент пропорциональности $k = \frac{1}{2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}$, такой что:

$\text{tg}\beta + \text{tg}\gamma = k \sin(2\alpha)$

$\text{tg}\alpha + \text{tg}\gamma = k \sin(2\beta)$

$\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta = k \sin(2\gamma)$

Это справедливо, если ни один из углов не равен $90^\circ$, так как в этом случае тангенс не определен, а косинус в знаменателе равен нулю. Исходное равенство предполагает, что треугольник не является прямоугольным.

Теперь мы можем переписать наше выражение для $S$:

$S = - (k \sin(2\alpha)\vec{OA} + k \sin(2\beta)\vec{OB} + k \sin(2\gamma)\vec{OC})$

$S = -k (\sin(2\alpha)\vec{OA} + \sin(2\beta)\vec{OB} + \sin(2\gamma)\vec{OC})$

Поскольку выражение в скобках равно нулевому вектору, получаем:

$S = -k \cdot \vec{0} = \vec{0}$

Следовательно, $\text{tg}\alpha \cdot \vec{HA} + \text{tg}\beta \cdot \vec{HB} + \text{tg}\gamma \cdot \vec{HC} = \vec{0}$.

Ответ: Равенство доказано.