Номер 1265, страница 172 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1265. Плоские углы $BSC$, $CSA$, $ASB$ треугольной пирамиды $SABC$ равны соответственно $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. Найдите косинус угла между:

а) ребром $SA$ и биссектрисой угла $BSC$;

б) биссектрисами углов $ASB$ и $ASC$.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Поместим вершину пирамиды $S$ в начало координат. Введем три единичных вектора $\vec{e_a}$, $\vec{e_b}$, $\vec{e_c}$, сонаправленных с ребрами $SA$, $SB$, $SC$ соответственно. По определению скалярного произведения, имеем:
$\vec{e_b} \cdot \vec{e_c} = |\vec{e_b}| \cdot |\vec{e_c}| \cos(\angle BSC) = 1 \cdot 1 \cdot \cos \alpha = \cos \alpha$
$\vec{e_c} \cdot \vec{e_a} = |\vec{e_c}| \cdot |\vec{e_a}| \cos(\angle CSA) = 1 \cdot 1 \cdot \cos \beta = \cos \beta$
$\vec{e_a} \cdot \vec{e_b} = |\vec{e_a}| \cdot |\vec{e_b}| \cos(\angle ASB) = 1 \cdot 1 \cdot \cos \gamma = \cos \gamma$

а) ребром SA и биссектрисой угла BSC;

Направляющий вектор ребра $SA$ — это вектор $\vec{e_a}$.
Направляющий вектор биссектрисы угла $BSC$ (обозначим его $\vec{d_1}$) сонаправлен сумме единичных векторов, образующих угол: $\vec{d_1} = \vec{e_b} + \vec{e_c}$.
Найдем косинус угла $\varphi$ между вектором $\vec{e_a}$ и вектором $\vec{d_1}$ по формуле:
$ \cos \varphi = \frac{\vec{e_a} \cdot \vec{d_1}}{|\vec{e_a}| \cdot |\vec{d_1}|} $
Вычислим скалярное произведение в числителе:
$ \vec{e_a} \cdot \vec{d_1} = \vec{e_a} \cdot (\vec{e_b} + \vec{e_c}) = \vec{e_a} \cdot \vec{e_b} + \vec{e_a} \cdot \vec{e_c} = \cos \gamma + \cos \beta $
Теперь вычислим модуль вектора $\vec{d_1}$ в знаменателе. Модуль вектора $\vec{e_a}$ равен 1, так как это единичный вектор.
$ |\vec{d_1}|^2 = (\vec{e_b} + \vec{e_c})^2 = \vec{e_b}^2 + 2(\vec{e_b} \cdot \vec{e_c}) + \vec{e_c}^2 = |\vec{e_b}|^2 + 2\cos \alpha + |\vec{e_c}|^2 = 1 + 2\cos \alpha + 1 = 2(1 + \cos \alpha) $
Используя формулу понижения степени $1 + \cos \alpha = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем:
$ |\vec{d_1}|^2 = 2 \cdot 2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = 4\cos^2(\frac{\alpha}{2}) $
$ |\vec{d_1}| = \sqrt{4\cos^2(\frac{\alpha}{2})} = 2\cos(\frac{\alpha}{2}) $ (так как угол $\alpha/2$ острый, его косинус положителен).
Подставляем найденные значения в формулу для косинуса угла:
$ \cos \varphi = \frac{\cos \beta + \cos \gamma}{1 \cdot 2\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{\cos \beta + \cos \gamma}{2\cos(\frac{\alpha}{2})} $
Ответ: $ \frac{\cos \beta + \cos \gamma}{2 \cos(\frac{\alpha}{2})} $

б) биссектрисами углов ASB и ASC.

Направляющий вектор биссектрисы угла $ASB$ (обозначим его $\vec{d_2}$) равен сумме единичных векторов $\vec{e_a}$ и $\vec{e_b}$: $\vec{d_2} = \vec{e_a} + \vec{e_b}$.
Направляющий вектор биссектрисы угла $ASC$ (обозначим его $\vec{d_3}$) равен сумме единичных векторов $\vec{e_a}$ и $\vec{e_c}$: $\vec{d_3} = \vec{e_a} + \vec{e_c}$.
Найдем косинус угла $\psi$ между векторами $\vec{d_2}$ и $\vec{d_3}$:
$ \cos \psi = \frac{\vec{d_2} \cdot \vec{d_3}}{|\vec{d_2}| \cdot |\vec{d_3}|} $
Вычислим скалярное произведение в числителе:
$ \vec{d_2} \cdot \vec{d_3} = (\vec{e_a} + \vec{e_b}) \cdot (\vec{e_a} + \vec{e_c}) = \vec{e_a}^2 + \vec{e_a} \cdot \vec{e_c} + \vec{e_b} \cdot \vec{e_a} + \vec{e_b} \cdot \vec{e_c} $
$ = |\vec{e_a}|^2 + \cos \beta + \cos \gamma + \cos \alpha = 1 + \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma $
Теперь вычислим модули векторов в знаменателе, аналогично пункту а):
$ |\vec{d_2}|^2 = (\vec{e_a} + \vec{e_b})^2 = |\vec{e_a}|^2 + 2(\vec{e_a} \cdot \vec{e_b}) + |\vec{e_b}|^2 = 1 + 2\cos \gamma + 1 = 2(1 + \cos \gamma) = 4\cos^2(\frac{\gamma}{2}) $
$ |\vec{d_2}| = 2\cos(\frac{\gamma}{2}) $
$ |\vec{d_3}|^2 = (\vec{e_a} + \vec{e_c})^2 = |\vec{e_a}|^2 + 2(\vec{e_a} \cdot \vec{e_c}) + |\vec{e_c}|^2 = 1 + 2\cos \beta + 1 = 2(1 + \cos \beta) = 4\cos^2(\frac{\beta}{2}) $
$ |\vec{d_3}| = 2\cos(\frac{\beta}{2}) $
Подставляем все в формулу для косинуса угла:
$ \cos \psi = \frac{1 + \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma}{2\cos(\frac{\gamma}{2}) \cdot 2\cos(\frac{\beta}{2})} = \frac{1 + \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma}{4\cos(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\gamma}{2})} $
Ответ: $ \frac{1 + \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma}{4 \cos(\frac{\beta}{2}) \cos(\frac{\gamma}{2})} $