Номер 1272, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1272. Точки $M$ и $N$ выбраны соответственно на скрещивающихся прямых $AD$ и $BC$ так, что $MN$ — их общий перпендикуляр. Выразите вектор $\vec{MN}$ через векторы $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$.

Для решения задачи введем базисные векторы, с началом в точке D, как указано в условии: $\vec{a} = \overrightarrow{DA}$, $\vec{b} = \overrightarrow{DB}$ и $\vec{c} = \overrightarrow{DC}$.

Точка M лежит на прямой AD. Это означает, что вектор $\overrightarrow{DM}$ коллинеарен вектору $\overrightarrow{DA}$. Следовательно, существует такое число $x$, что:

$\overrightarrow{DM} = x \cdot \overrightarrow{DA} = x\vec{a}$

Точка N лежит на прямой BC. Направляющий вектор этой прямой равен $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DB} = \vec{c} - \vec{b}$. Положение точки N можно выразить через вектор $\overrightarrow{DN}$.

$\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BN}$

Поскольку N лежит на прямой BC, вектор $\overrightarrow{BN}$ коллинеарен вектору $\overrightarrow{BC}$. Следовательно, существует такое число $y$, что:

$\overrightarrow{BN} = y \cdot \overrightarrow{BC} = y(\vec{c} - \vec{b})$

Тогда вектор $\overrightarrow{DN}$ равен:

$\overrightarrow{DN} = \vec{b} + y(\vec{c} - \vec{b}) = (1-y)\vec{b} + y\vec{c}$

Теперь мы можем выразить искомый вектор $\overrightarrow{MN}$:

$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{DN} - \overrightarrow{DM} = ((1-y)\vec{b} + y\vec{c}) - x\vec{a} = -x\vec{a} + (1-y)\vec{b} + y\vec{c}$

По условию задачи, MN — общий перпендикуляр к прямым AD и BC. Это означает, что вектор $\overrightarrow{MN}$ ортогонален направляющим векторам этих прямых. Направляющий вектор прямой AD — это $\overrightarrow{DA}$, а прямой BC — это $\overrightarrow{BC}$.

Условие ортогональности означает, что скалярное произведение соответствующих векторов равно нулю:

1. $\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{DA} = 0$
2. $\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$

Запишем эти два условия в виде системы уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов $x$ и $y$.

Из первого условия:

$(-x\vec{a} + (1-y)\vec{b} + y\vec{c}) \cdot \vec{a} = 0$

$-x(\vec{a} \cdot \vec{a}) + (1-y)(\vec{b} \cdot \vec{a}) + y(\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$

$-x|\vec{a}|^2 + (1-y)(\vec{a} \cdot \vec{b}) + y(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 0$ (I)

Из второго условия:

$(-x\vec{a} + (1-y)\vec{b} + y\vec{c}) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = 0$

$-x(\vec{a} \cdot (\vec{c} - \vec{b})) + ((1-y)\vec{b} + y\vec{c}) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = 0$

$-x(\vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{a} \cdot \vec{b}) + (1-y)(\vec{b} \cdot \vec{c} - |\vec{b}|^2) + y(|\vec{c}|^2 - \vec{c} \cdot \vec{b}) = 0$ (II)

Решение этой системы уравнений (I) и (II) относительно $x$ и $y$ и подстановка их в выражение для $\overrightarrow{MN}$ дает искомый результат. Однако можно применить более прямой метод, основанный на векторном произведении.

Вектор $\overrightarrow{MN}$ как общий перпендикуляр должен быть параллелен векторному произведению направляющих векторов прямых AD и BC:

$\overrightarrow{MN} = k (\overrightarrow{DA} \times \overrightarrow{BC}) = k (\vec{a} \times (\vec{c} - \vec{b}))$

Коэффициент $k$ находится из условия, что $\overrightarrow{MN}$ является проекцией вектора, соединяющего произвольные точки на прямых (например, D и B, вектор $\overrightarrow{DB}$), на направление общего перпендикуляра.

Формула для вектора общего перпендикуляра имеет вид:

$\overrightarrow{MN} = \frac{\overrightarrow{DB} \cdot (\overrightarrow{DA} \times \overrightarrow{BC})}{|\overrightarrow{DA} \times \overrightarrow{BC}|^2} (\overrightarrow{DA} \times \overrightarrow{BC})$

Подставим наши векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$:

$\overrightarrow{MN} = \frac{\vec{b} \cdot (\vec{a} \times (\vec{c} - \vec{b}))}{|\vec{a} \times (\vec{c} - \vec{b})|^2} (\vec{a} \times (\vec{c} - \vec{b}))$

Упростим смешанное произведение в числителе:

$\vec{b} \cdot (\vec{a} \times (\vec{c} - \vec{b})) = \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{c} - \vec{a} \times \vec{b}) = \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) - \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})$

Смешанное произведение $\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})$ содержит два одинаковых вектора, поэтому оно равно нулю. Таким образом, числитель равен $\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{c})$, что есть смешанное произведение $(\vec{b}, \vec{a}, \vec{c})$ или, в исходных обозначениях, $(\overrightarrow{DB}, \overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DC})$.

Раскроем векторное произведение в знаменателе и в качестве множителя:

$\vec{a} \times (\vec{c} - \vec{b}) = \vec{a} \times \vec{c} - \vec{a} \times \vec{b} = \overrightarrow{DA} \times \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DA} \times \overrightarrow{DB}$

Собирая все вместе, получаем окончательное выражение для вектора $\overrightarrow{MN}$ через заданные векторы.

Ответ: $\overrightarrow{MN} = \frac{(\overrightarrow{DB} \cdot (\overrightarrow{DA} \times \overrightarrow{DC}))}{|\overrightarrow{DA} \times \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DA} \times \overrightarrow{DB}|^2} (\overrightarrow{DA} \times \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DA} \times \overrightarrow{DB})$