Номер 1278, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1278. Данный угол $ABC$ разделите на 4 доли, на 8 долей.

на 4 доли

Чтобы разделить данный угол $ABC$ на 4 равные части, необходимо дважды последовательно применить алгоритм построения биссектрисы угла с помощью циркуля и линейки.

1. Сначала построим биссектрису угла $ABC$. Назовем ее $BD$. Эта биссектриса разделит исходный угол на два равных угла: $\angle ABD$ и $\angle DBC$, так что $\angle ABD = \angle DBC = \frac{1}{2} \angle ABC$.
2. Далее, для каждого из этих двух углов снова построим биссектрису.
3. Построим биссектрису $BE$ для угла $\angle ABD$. Получим два угла, $\angle ABE$ и $\angle EBD$, равные $\frac{1}{4}$ от исходного угла $ABC$.
4. Построим биссектрису $BF$ для угла $\angle DBC$. Получим два угла, $\angle DBF$ и $\angle FBC$, также равные $\frac{1}{4}$ от исходного угла $ABC$.

В результате лучи $BE$, $BD$ и $BF$ разделят угол $ABC$ на четыре равные части: $\angle ABE = \angle EBD = \angle DBF = \angle FBC = \frac{1}{4} \angle ABC$.
Ответ: Построить биссектрису данного угла, а затем построить биссектрисы двух образовавшихся углов. Полученные три биссектрисы разделят исходный угол на 4 равные доли.

на 8 долей

Для разделения угла $ABC$ на 8 равных долей необходимо продолжить процесс деления пополам, описанный выше.

1. Первым шагом делим угол $ABC$ на 4 равные части, как это было сделано в предыдущем пункте. В результате мы получаем лучи $BE$, $BD$, $BF$ и четыре равных угла: $\angle ABE$, $\angle EBD$, $\angle DBF$, $\angle FBC$.
2. Следующим шагом необходимо построить биссектрису для каждого из этих четырех углов.
3. Построение четырех новых биссектрис разделит каждый из четырех углов пополам, в результате чего образуется восемь равных углов. Каждый из этих углов будет составлять $\frac{1}{8}$ от величины исходного угла $ABC$.

Таким образом, для деления угла на 8 долей нужно последовательно три раза применить операцию построения биссектрисы: сначала для исходного угла, затем для двух полученных, и, наконец, для четырех получившихся углов.
Ответ: Разделить угол на 4 равные доли, как указано выше, а затем построить биссектрисы для каждого из четырех полученных углов. В итоге семь построенных биссектрис разделят исходный угол на 8 равных долей.