Номер 1280, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1280. Постройте точку, находящуюся:

a) на расстоянии $2a$ от данных точек $A$ и $B$, учитывая, что $a$ – длина отрезка $AB$;

б) на расстояниях $a$ и $b$ от данных точек $A$ и $B$.

а) Чтобы найти точку (или точки), равноудаленную от двух данных точек A и B, необходимо найти пересечение двух окружностей. В данном случае искомая точка M должна удовлетворять двум условиям: расстояние от M до A равно $2a$, и расстояние от M до B равно $2a$.

Геометрическое место точек, находящихся на расстоянии $R$ от данной точки $P$, — это окружность с центром в точке $P$ и радиусом $R$.

Таким образом, задача сводится к построению двух окружностей и нахождению их точек пересечения:

1. Строим окружность с центром в точке A и радиусом $R_1 = 2a$. Поскольку $a$ — это длина отрезка AB, то радиус этой окружности будет равен удвоенной длине отрезка AB.
2. Строим окружность с центром в точке B и радиусом $R_2 = 2a$.
3. Точки пересечения этих двух окружностей и будут искомыми точками.

Поскольку расстояние между центрами окружностей равно $AB = a$, а их радиусы $R_1 = R_2 = 2a$, то выполняется условие пересечения двух окружностей: $|R_1 - R_2| < AB < R_1 + R_2$, то есть $0 < a < 4a$. Это неравенство всегда верно для $a > 0$. Следовательно, окружности всегда будут пересекаться в двух точках. Эти две точки будут симметричны относительно прямой, проходящей через точки A и B.

Ответ: Искомые точки — это точки пересечения двух окружностей: одной с центром в A и радиусом $2 \cdot AB$, и второй с центром в B и радиусом $2 \cdot AB$. Таких точек будет две.

б) В этом случае искомая точка M должна находиться на расстоянии $a$ от точки A и на расстоянии $b$ от точки B. По аналогии с пунктом а), решение задачи заключается в нахождении точек пересечения двух окружностей:

1. Строим окружность с центром в точке A и радиусом $R_A = a$.
2. Строим окружность с центром в точке B и радиусом $R_B = b$.

Количество решений зависит от соотношения между длинами $a$, $b$ и расстоянием между точками A и B (обозначим его как $d = AB$). Эти три отрезка ($AM=a$, $BM=b$, $AB=d$) должны образовывать треугольник ABM. Решение существует тогда и только тогда, когда выполняется неравенство треугольника.

Возможны следующие случаи:

• Два решения: Если окружности пересекаются в двух точках. Это происходит, когда выполняется строгое неравенство треугольника: $|a - b| < AB < a + b$. В этом случае существуют две искомые точки, симметричные относительно прямой AB.
• Одно решение: Если окружности касаются друг друга. Это происходит, когда $AB = a + b$ (внешнее касание) или $AB = |a - b|$ (внутреннее касание). В этом случае искомая точка одна, и она лежит на прямой AB.
• Нет решений: Если окружности не пересекаются и не касаются. Это происходит, когда $AB > a + b$ (окружности находятся слишком далеко друг от друга) или $AB < |a - b|$ (одна окружность полностью находится внутри другой).

Ответ: Искомые точки — это точки пересечения окружности с центром в A и радиусом $a$ и окружности с центром в B и радиусом $b$. Число решений (0, 1 или 2) зависит от соотношения между $a$, $b$ и длиной отрезка $AB$. Решение существует, если $AB \le a+b$ и $AB \ge |a-b|$.