Номер 1273, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1273. В треугольной пирамиде ABCD ребра основания ABC и ребро DA равны 1, ребра DB и DC $-$ $\sqrt{2}$. Определите, в каком отношении ребра AB и CD разделяет их общий перпендикуляр.

Для решения данной задачи воспользуемся методом координат.

1. Анализ геометрии пирамиды и выбор системы координат

Сначала проанализируем свойства граней пирамиды. В основании лежит треугольник $ABC$, все ребра которого равны 1. Следовательно, $\triangle ABC$ — равносторонний.

Рассмотрим боковую грань $DAB$. Длины ее сторон равны $DA=1$, $AB=1$, $DB=\sqrt{2}$. Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема Пифагора: $DA^2 + AB^2 = 1^2 + 1^2 = 2$. Так как $DB^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$, то $DA^2 + AB^2 = DB^2$. Это означает, что $\triangle DAB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$, то есть $DA \perp AB$.

Рассмотрим боковую грань $DAC$. Длины ее сторон равны $DA=1$, $AC=1$ (так как $\triangle ABC$ равносторонний), $DC=\sqrt{2}$. Аналогично, $DA^2 + AC^2 = 1^2 + 1^2 = 2$, и $DC^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$. Таким образом, $DA^2 + AC^2 = DC^2$, и $\triangle DAC$ также является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$, то есть $DA \perp AC$.

Поскольку ребро $DA$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым $AB$ и $AC$ в плоскости основания, оно перпендикулярно всей плоскости основания $ABC$.

Это позволяет нам удобно расположить пирамиду в прямоугольной системе координат. Поместим вершину $A$ в начало координат $(0,0,0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, а ось $Oz$ — вдоль ребра $DA$. Так как $\triangle ABC$ — равносторонний, третья вершина $C$ будет лежать в плоскости $Oxy$.

Координаты вершин пирамиды будут следующими:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(1, 0, 0)$ (так как $AB=1$ и лежит на оси $Ox$)
• $D(0, 0, 1)$ (так как $DA=1$ и лежит на оси $Oz$)
• Для $C(x, y, 0)$, мы знаем, что $AC=1$ и $BC=1$.
  $AC^2 = x^2 + y^2 = 1^2 = 1$
  $BC^2 = (x-1)^2 + (y-0)^2 = 1^2 = 1 \implies x^2 - 2x + 1 + y^2 = 1$.
  Подставляя $x^2 + y^2 = 1$ во второе уравнение, получаем $1 - 2x + 1 = 1$, откуда $2x=1$ и $x=1/2$.
  Тогда $y^2 = 1 - x^2 = 1 - (1/2)^2 = 3/4$, и мы можем выбрать $y = \sqrt{3}/2$.
  Итак, $C(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

2. Нахождение общего перпендикуляра

Пусть $MN$ — общий перпендикуляр к скрещивающимся ребрам $AB$ и $CD$, где точка $M$ лежит на $AB$, а точка $N$ — на $CD$. Нам нужно найти векторы этих прямых и параметризовать положение точек $M$ и $N$.

Направляющий вектор прямой $AB$: $\vec{v}_{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (1, 0, 0)$.
Направляющий вектор прямой $CD$: $\vec{v}_{CD} = \vec{D} - \vec{C} = (0 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Точка $M$ на ребре $AB$ может быть задана как $\vec{M} = \vec{A} + t \cdot \vec{v}_{AB} = (t, 0, 0)$ для некоторого $t \in [0, 1]$.
Точка $N$ на ребре $CD$ может быть задана как $\vec{N} = \vec{C} + s \cdot \vec{v}_{CD} = (1/2, \sqrt{3}/2, 0) + s(-1/2, -\sqrt{3}/2, 1) = (1/2 - s/2, \sqrt{3}/2 - s\sqrt{3}/2, s)$ для некоторого $s \in [0, 1]$.

Вектор $\vec{MN}$, соединяющий эти точки, равен $\vec{N} - \vec{M} = (1/2 - s/2 - t, \sqrt{3}/2 - s\sqrt{3}/2, s)$.

По определению общего перпендикуляра, вектор $\vec{MN}$ должен быть перпендикулярен обоим направляющим векторам $\vec{v}_{AB}$ и $\vec{v}_{CD}$. Это условие выражается через нулевое скалярное произведение:

1) $\vec{MN} \cdot \vec{v}_{AB} = 0$
$(1/2 - s/2 - t) \cdot 1 + (\sqrt{3}/2 - s\sqrt{3}/2) \cdot 0 + s \cdot 0 = 0$
$1/2 - s/2 - t = 0 \implies t = 1/2 - s/2$.

2) $\vec{MN} \cdot \vec{v}_{CD} = 0$
$(1/2 - s/2 - t) \cdot (-1/2) + (\sqrt{3}/2 - s\sqrt{3}/2) \cdot (-\sqrt{3}/2) + s \cdot 1 = 0$.
Подставим выражение для $t$ из первого уравнения во второе. Заметим, что скобка $(1/2 - s/2 - t)$ становится равной нулю.
$0 \cdot (-1/2) - \frac{\sqrt{3}}{2}(\sqrt{3}/2 - s\sqrt{3}/2) + s = 0$
$- \frac{3}{4}(1-s) + s = 0$
$-3/4 + 3s/4 + s = 0$
$7s/4 = 3/4 \implies s = 3/7$.

Теперь найдем значение $t$:
$t = 1/2 - s/2 = 1/2 - (3/7)/2 = 1/2 - 3/14 = 7/14 - 3/14 = 4/14 = 2/7$.

3. Определение отношений

Параметр $t=2/7$ определяет положение точки $M$ на ребре $AB$. Отношение, в котором точка $M$ делит ребро $AB$, считая от вершины $A$, равно $AM:MB$.
$AM = t \cdot AB$, $MB = (1-t) \cdot AB$.
Следовательно, отношение равно $t : (1-t) = (2/7) : (1 - 2/7) = (2/7) : (5/7) = 2:5$.

Параметр $s=3/7$ определяет положение точки $N$ на ребре $CD$. Отношение, в котором точка $N$ делит ребро $CD$, считая от вершины $C$, равно $CN:ND$.
$CN = s \cdot CD$, $ND = (1-s) \cdot CD$.
Следовательно, отношение равно $s : (1-s) = (3/7) : (1 - 3/7) = (3/7) : (4/7) = 3:4$.

Ответ: Общий перпендикуляр делит ребро $AB$ в отношении $2:5$, считая от вершины $A$, и ребро $CD$ в отношении $3:4$, считая от вершины $C$.