Номер 1268, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1268. В основание цилиндра вписан треугольник $ABC$, точка $K$ выбрана на боковой поверхности цилиндра. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из точки $K$ на прямые $AB$, $BC$, $CA$, лежат на одной прямой.

Пусть плоскость основания цилиндра, в которой лежит треугольник $ABC$, является плоскостью $\pi$. Так как треугольник $ABC$ вписан в основание цилиндра, то окружность основания является описанной около треугольника $ABC$.

Обозначим через $P, Q, R$ основания перпендикуляров, опущенных из точки $K$ на прямые $AB, BC, CA$ соответственно. По условию, $KP \perp AB$, $KQ \perp BC$, $KR \perp CA$. Прямые $AB, BC, CA$ лежат в плоскости $\pi$, следовательно, точки $P, Q, R$ также лежат в этой плоскости.

Пусть $K'$ — ортогональная проекция точки $K$ на плоскость $\pi$. Поскольку точка $K$ лежит на боковой поверхности цилиндра, ее проекция $K'$ лежит на окружности основания, то есть на окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Рассмотрим наклонную $KP$ к плоскости $\pi$ и ее проекцию $K'P$. Прямая $AB$ лежит в плоскости $\pi$ и проходит через основание наклонной $P$. По условию, $KP \perp AB$. По обратной теореме о трех перпендикулярах, если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной. Следовательно, $K'P \perp AB$. Это означает, что $P$ является основанием перпендикуляра, опущенного из точки $K'$ на прямую $AB$.

Аналогично доказывается, что $Q$ — основание перпендикуляра из $K'$ на прямую $BC$, и $R$ — основание перпендикуляра из $K'$ на прямую $CA$.

Таким образом, точки $P, Q, R$ являются основаниями перпендикуляров, опущенных из точки $K'$, лежащей на описанной окружности треугольника $ABC$, на прямые, содержащие его стороны.

Согласно теореме о прямой Симсона, основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки описанной окружности треугольника на прямые, содержащие его стороны, лежат на одной прямой.

Следовательно, точки $P, Q$ и $R$ лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.