Номер 1262, страница 172 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1262. В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$. Докажите, что выполняется равенство:

a) $ctg \angle BC_1C + ctg \angle CA_1A + ctg \angle AB_1B = 0;$

б) $ctg \angle BCC_1 + ctg \angle CAA_1 + ctg \angle ABB_1 = ctg \angle ACC_1 + ctg \angle BAA_1 + ctg \angle CBB_1.$

Обозначим стороны треугольника $ABC$ как $a, b, c$ (противолежащие вершинам $A, B, C$ соответственно), а его площадь как $S$. Медианы, проведенные к этим сторонам, обозначим $m_a, m_b, m_c$.

Для любого треугольника с вершиной в точке $X$ и сторонами $x_1, x_2$, образующими угол $\theta$, и противолежащей стороной $x_3$, котангенс угла $\theta$ можно выразить через стороны и площадь треугольника $S_{\triangle}$ по формуле, следующей из теоремы косинусов ($x_3^2 = x_1^2 + x_2^2 - 2x_1x_2\cos\theta$) и формулы площади ($S_{\triangle} = \frac{1}{2}x_1x_2\sin\theta$):

$ctg(\theta) = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{(x_1^2 + x_2^2 - x_3^2)/(2x_1x_2)}{(2S_{\triangle})/(x_1x_2)} = \frac{x_1^2 + x_2^2 - x_3^2}{4S_{\triangle}}$

Также будем использовать формулы для длин медиан: $m_a^2 = \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$, $m_b^2 = \frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}$, $m_c^2 = \frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}$.

Рассмотрим три треугольника, образованных медианами: $\triangle BC_1C$, $\triangle CA_1A$ и $\triangle AB_1B$. Площадь каждого из этих треугольников равна половине площади $\triangle ABC$, то есть $S_{\triangle} = S/2$.

1. Для угла $\angle BC_1C$ в $\triangle BC_1C$ (стороны, образующие угол, $C_1B = c/2$ и $C_1C = m_c$; противолежащая сторона $BC=a$):

$ctg(\angle BC_1C) = \frac{(c/2)^2 + m_c^2 - a^2}{4(S/2)} = \frac{c^2/4 + \frac{2a^2+2b^2-c^2}{4} - a^2}{2S} = \frac{c^2 + 2a^2 + 2b^2 - c^2 - 4a^2}{8S} = \frac{2b^2 - 2a^2}{8S} = \frac{b^2 - a^2}{4S}$.

2. Для угла $\angle CA_1A$ в $\triangle CA_1A$ (стороны $A_1C = a/2$ и $A_1A = m_a$; противолежащая сторона $AC=b$):

$ctg(\angle CA_1A) = \frac{(a/2)^2 + m_a^2 - b^2}{2S} = \frac{a^2/4 + \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4} - b^2}{2S} = \frac{a^2 + 2b^2 + 2c^2 - a^2 - 4b^2}{8S} = \frac{2c^2 - 2b^2}{8S} = \frac{c^2 - b^2}{4S}$.

3. Для угла $\angle AB_1B$ в $\triangle AB_1B$ (стороны $B_1A = b/2$ и $B_1B = m_b$; противолежащая сторона $AB=c$):

$ctg(\angle AB_1B) = \frac{(b/2)^2 + m_b^2 - c^2}{2S} = \frac{b^2/4 + \frac{2a^2+2c^2-b^2}{4} - c^2}{2S} = \frac{b^2 + 2a^2 + 2c^2 - b^2 - 4c^2}{8S} = \frac{2a^2 - 2c^2}{8S} = \frac{a^2 - c^2}{4S}$.

Суммируя полученные выражения, получаем:

$ctg(\angle BC_1C) + ctg(\angle CA_1A) + ctg(\angle AB_1B) = \frac{b^2 - a^2}{4S} + \frac{c^2 - b^2}{4S} + \frac{a^2 - c^2}{4S} = \frac{b^2 - a^2 + c^2 - b^2 + a^2 - c^2}{4S} = 0$.

Ответ: Равенство доказано.

В этом пункте мы находим котангенсы углов, которые медианы образуют со сторонами треугольника. Медиана делит каждый угол при вершине на две части. Мы будем рассматривать треугольники, образованные стороной, медианой и половиной другой стороны. Площадь каждого такого треугольника также равна $S/2$.

Вычислим котангенсы для левой части равенства:

1. Для угла $\angle BCC_1$ в $\triangle BCC_1$ (стороны $BC = a$ и $CC_1 = m_c$; противолежащая сторона $BC_1=c/2$):

$ctg(\angle BCC_1) = \frac{a^2 + m_c^2 - (c/2)^2}{4(S/2)} = \frac{a^2 + \frac{2a^2+2b^2-c^2}{4} - \frac{c^2}{4}}{2S} = \frac{4a^2 + 2a^2+2b^2-c^2-c^2}{8S} = \frac{3a^2+b^2-c^2}{4S}$.

2. Для угла $\angle CAA_1$ в $\triangle CAA_1$ (стороны $AC = b$ и $AA_1 = m_a$; противолежащая сторона $CA_1=a/2$):

$ctg(\angle CAA_1) = \frac{b^2 + m_a^2 - (a/2)^2}{2S} = \frac{b^2 + \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4} - \frac{a^2}{4}}{2S} = \frac{4b^2+2b^2+2c^2-a^2-a^2}{8S} = \frac{3b^2+c^2-a^2}{4S}$.

3. Для угла $\angle ABB_1$ в $\triangle ABB_1$ (стороны $AB = c$ и $BB_1 = m_b$; противолежащая сторона $AB_1=b/2$):

$ctg(\angle ABB_1) = \frac{c^2 + m_b^2 - (b/2)^2}{2S} = \frac{c^2 + \frac{2a^2+2c^2-b^2}{4} - \frac{b^2}{4}}{2S} = \frac{4c^2+2a^2+2c^2-b^2-b^2}{8S} = \frac{3c^2+a^2-b^2}{4S}$.

Сумма левой части: $L = \frac{1}{4S}((3a^2+b^2-c^2) + (3b^2+c^2-a^2) + (3c^2+a^2-b^2)) = \frac{3a^2+3b^2+3c^2}{4S}$.

Теперь вычислим котангенсы для правой части равенства:

1. Для угла $\angle ACC_1$ в $\triangle ACC_1$ (стороны $AC = b$ и $CC_1 = m_c$; противолежащая сторона $AC_1=c/2$):

$ctg(\angle ACC_1) = \frac{b^2 + m_c^2 - (c/2)^2}{2S} = \frac{b^2 + \frac{2a^2+2b^2-c^2}{4} - \frac{c^2}{4}}{2S} = \frac{4b^2+2a^2+2b^2-c^2-c^2}{8S} = \frac{a^2+3b^2-c^2}{4S}$.

2. Для угла $\angle BAA_1$ в $\triangle BAA_1$ (стороны $AB = c$ и $AA_1 = m_a$; противолежащая сторона $BA_1=a/2$):

$ctg(\angle BAA_1) = \frac{c^2 + m_a^2 - (a/2)^2}{2S} = \frac{c^2 + \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4} - \frac{a^2}{4}}{2S} = \frac{4c^2+2b^2+2c^2-a^2-a^2}{8S} = \frac{b^2+3c^2-a^2}{4S}$.

3. Для угла $\angle CBB_1$ в $\triangle CBB_1$ (стороны $BC = a$ и $BB_1 = m_b$; противолежащая сторона $CB_1=b/2$):

$ctg(\angle CBB_1) = \frac{a^2 + m_b^2 - (b/2)^2}{2S} = \frac{a^2 + \frac{2a^2+2c^2-b^2}{4} - \frac{b^2}{4}}{2S} = \frac{4a^2+2a^2+2c^2-b^2-b^2}{8S} = \frac{3a^2+c^2-b^2}{4S}$.

Сумма правой части: $P = \frac{1}{4S}((a^2+3b^2-c^2) + (b^2+3c^2-a^2) + (3a^2+c^2-b^2)) = \frac{3a^2+3b^2+3c^2}{4S}$.

Так как $L = P$, равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.