Номер 1266, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1266. Три попарно скрещивающиеся прямые $a, b, c$ пересечены тремя другими прямыми в точках $A_1, A_2$ и $A_3, B_1, B_2$ и $B_3, C_1, C_2$ и $C_3$ (рис. 368). Докажите, что прямые $A_2B_1, A_3C_1$ и $B_3C_2$ проходят через одну точку или параллельны.

Для доказательства воспользуемся свойствами линейчатых поверхностей второго порядка.

Три попарно скрещивающиеся прямые $a$, $b$, $c$ в пространстве однозначно определяют линейчатую поверхность второго порядка $S$ (это может быть однополостный гиперболоид или гиперболический параболоид). Прямые $a$, $b$, $c$ являются прямолинейными образующими этой поверхности и принадлежат одному из двух семейств образующих.

Любая прямая, которая пересекает эти три прямые (является их трансверсалью), также является образующей поверхности $S$, но принадлежит второму семейству образующих. По условию задачи, прямые, которые мы обозначим как $l_1$ (проходящая через $A_1, B_1, C_1$), $l_2$ (проходящая через $A_2, B_2, C_2$) и $l_3$ (проходящая через $A_3, B_3, C_3$), являются трансверсалями для прямых $a$, $b$, $c$. Следовательно, прямые $l_1$, $l_2$, $l_3$ принадлежат второму семейству образующих поверхности $S$.

Таким образом, все девять точек $A_1, A_2, A_3$, $B_1, B_2, B_3$, $C_1, C_2, C_3$ лежат на одной и той же линейчатой поверхности $S$.

Для дальнейшего доказательства применим пространственное обобщение теоремы Паскаля (известное как теорема Шаля для линейчатых поверхностей). Теорема гласит: если шесть вершин шестиугольника лежат на поверхности второго порядка, а его стороны поочередно принадлежат двум разным семействам прямолинейных образующих этой поверхности, то три главные диагонали шестиугольника (соединяющие противоположные вершины) пересекаются в одной точке или параллельны.

Рассмотрим пространственный шестиугольник с вершинами в следующем порядке: $A_2, A_3, B_3, B_1, C_1, C_2$. Все эти точки, как мы установили, лежат на поверхности $S$. Проверим, принадлежат ли его стороны поочередно двум семействам образующих:

• Сторона $A_2A_3$ лежит на прямой $a$ (первое семейство образующих).
• Сторона $A_3B_3$ лежит на прямой $l_3$ (второе семейство образующих).
• Сторона $B_3B_1$ лежит на прямой $b$ (первое семейство образующих).
• Сторона $B_1C_1$ лежит на прямой $l_1$ (второе семейство образующих).
• Сторона $C_1C_2$ лежит на прямой $c$ (первое семейство образующих).
• Сторона $C_2A_2$ лежит на прямой $l_2$ (второе семейство образующих).

Условия теоремы выполнены. Теперь определим главные диагонали этого шестиугольника, соединяющие его противоположные вершины:

• Диагональ, соединяющая первую вершину ($A_2$) и четвертую ($B_1$) — это прямая $A_2B_1$.
• Диагональ, соединяющая вторую вершину ($A_3$) и пятую ($C_1$) — это прямая $A_3C_1$.
• Диагональ, соединяющая третью вершину ($B_3$) и шестую ($C_2$) — это прямая $B_3C_2$.

Согласно теореме, эти три диагонали — прямые $A_2B_1$, $A_3C_1$ и $B_3C_2$ — должны пересекаться в одной точке или быть параллельными.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.