Номер 1281, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1281. Через данную точку $C$ проведите прямую так, чтобы она была серединой отрезка с концами на двух данных прямых.

Пусть даны две прямые $l_1$ и $l_2$ и точка $C$. Требуется построить прямую $m$, проходящую через точку $C$ и пересекающую прямые $l_1$ и $l_2$ в точках $A$ и $B$ соответственно, так, чтобы точка $C$ являлась серединой отрезка $AB$.

Для решения этой задачи воспользуемся методом центральной симметрии.

Анализ

Предположим, что искомая прямая $m$ построена. Она проходит через точку $C$ и пересекает прямые $l_1$ и $l_2$ в точках $A$ и $B$ соответственно. По условию, $C$ — середина отрезка $AB$. Это означает, что точки $A$ и $B$ симметричны относительно точки $C$.

Рассмотрим центральную симметрию $S_C$ с центром в точке $C$. При этой симметрии точка $A$ переходит в точку $B$, а точка $B$ — в точку $A$.

Поскольку точка $A$ лежит на прямой $l_1$, ее образ — точка $B$ — должен лежать на образе прямой $l_1$ при симметрии $S_C$. Обозначим образ прямой $l_1$ как $l_1'$. Прямая $l_1'$ параллельна прямой $l_1$.

Таким образом, точка $B$ должна одновременно принадлежать двум прямым:

1. Прямой $l_2$ (согласно условию).
2. Прямой $l_1'$ (как образ точки $A$, лежащей на $l_1$).

Следовательно, точка $B$ является точкой пересечения прямых $l_2$ и $l_1'$. Найдя точку $B$, мы можем провести искомую прямую через точки $B$ и $C$.

Построение

1. Выберем на прямой $l_1$ произвольную точку $P$.
2. Построим точку $P'$, симметричную точке $P$ относительно точки $C$. Для этого проведем луч $PC$ и отложим на нем от точки $C$ отрезок $CP'$, равный отрезку $PC$.
3. Построим прямую $l_1'$, проходящую через точку $P'$ параллельно прямой $l_1$. (Альтернативно, можно взять вторую точку $Q$ на $l_1$, найти ее образ $Q'$ и провести $l_1'$ через $P'$ и $Q'$).
4. Найдем точку $B$ как точку пересечения построенной прямой $l_1'$ и данной прямой $l_2$.
5. Проведем прямую $m$ через точки $B$ и $C$. Эта прямая является искомой.

Доказательство

Пусть построенная прямая $m$ (проходящая через $B$ и $C$) пересекает прямую $l_1$ в точке $A$. Докажем, что $C$ — середина отрезка $AB$.

По построению, точка $B$ лежит на прямой $l_1'$ и на прямой $l_2$. Прямая $l_1'$ является образом прямой $l_1$ при симметрии $S_C$. Это значит, что прообраз точки $B$ при симметрии $S_C$ должен лежать на прямой $l_1$.

Пусть $A'$ — прообраз точки $B$ при симметрии $S_C$. Тогда $A'$ лежит на $l_1$. По определению центральной симметрии, точка $C$ является серединой отрезка $A'B$, и точки $A'$, $C$, $B$ лежат на одной прямой.

Прямая, проходящая через $B$ и $C$, — это построенная нами прямая $m$. Поскольку $A'$ лежит на этой же прямой, $A'$ является точкой пересечения прямой $m$ и прямой $l_1$. Но мы определили $A$ как точку пересечения $m$ и $l_1$. Следовательно, точки $A$ и $A'$ совпадают.

Так как $C$ — середина $A'B$, то $C$ — середина $AB$. Построение верно.

Исследование числа решений

Число решений зависит от существования и единственности точки пересечения $B$ прямых $l_1'$ и $l_2$.

• Если прямые $l_1$ и $l_2$ пересекаются, то прямая $l_1'$ (параллельная $l_1$) также будет пересекать $l_2$ в единственной точке. В этом случае задача имеет одно решение (за исключением вырожденных случаев, когда точка $C$ лежит на одной из прямых).
• Если прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны, то прямая $l_1'$ также будет параллельна $l_2$.
  • Если $l_1'$ не совпадает с $l_2$, то точек пересечения нет, и задача не имеет решений. Это происходит, когда точка $C$ не лежит на средней линии, равноудаленной от $l_1$ и $l_2$.
  • Если $l_1'$ совпадает с $l_2$, то любая точка на $l_2$ является их пересечением. В этом случае задача имеет бесконечно много решений: любая прямая, проходящая через $C$, является искомой. Это происходит, когда точка $C$ лежит на средней линии прямых $l_1$ и $l_2$.

Ответ: Искомая прямая проходит через данную точку $C$ и точку $B$, которая является точкой пересечения прямой $l_2$ с прямой $l_1'$, построенной симметрично прямой $l_1$ относительно точки $C$. В зависимости от взаимного расположения исходных прямых и точки задача может иметь одно, бесконечно много или не иметь решений.