Номер 1288, страница 175 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1288. Постройте параллелограмм, середины трех сторон которого находятся в трех данных точках.

Задача заключается в построении параллелограмма по трем точкам, являющимся серединами его сторон. У этой задачи есть три возможных решения, в зависимости от того, как эти три стороны расположены.

Пусть искомый параллелограмм — $ABCD$, а данные точки — $M$, $N$ и $P$.

Возможны два случая расположения сторон, на которых лежат данные точки:

1. Три стороны последовательны (например, $AB$, $BC$ и $CD$).
2. Две стороны противоположны, а третья — смежная с ними (например, $AB$, $CD$ и $BC$).

Покажем, что оба случая приводят к одному и тому же методу построения, и что всего существует три уникальных решения.

Анализ задачи

Пусть $M$, $N$, $P$, $Q$ — середины сторон $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ параллелограмма $ABCD$ соответственно. Известно, что фигура $MNPQ$, образованная серединами сторон любого четырехугольника, является параллелограммом (теорема Вариньона). Таким образом, данные нам три точки должны являться тремя вершинами этого "внутреннего" параллелограмма $MNPQ$.

Пусть даны точки $P_1$, $P_2$, $P_3$. Чтобы они были тремя вершинами параллелограмма, четвертая вершина $P_4$ может быть найдена тремя способами:

• $P_4 = P_1 + P_3 - P_2$ (если $P_1P_2P_3P_4$ — параллелограмм)
• $P_4 = P_1 + P_2 - P_3$ (если $P_1P_3P_2P_4$ — параллелограмм)
• $P_4 = P_2 + P_3 - P_1$ (если $P_1P_4P_3P_2$ — параллелограмм)

Каждый из этих трех вариантов для четвертой вершины $P_4$ определяет уникальный параллелограмм середин сторон, что, в свою очередь, однозначно задает исходный параллелограмм. Следовательно, задача имеет три решения.

Построение одного из решений

Рассмотрим случай, когда данные точки $M$, $N$, $P$ являются серединами последовательных сторон $AB$, $BC$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$.

1. Установление связи между точками и сторонами.

Выразим векторы через координаты вершин. Пусть $A, B, C, D$ — радиус-векторы вершин параллелограмма.

$M = \frac{A+B}{2}$, $N = \frac{B+C}{2}$, $P = \frac{C+D}{2}$.

Найдем вектор $\vec{MP}$:

$\vec{MP} = P - M = \frac{C+D}{2} - \frac{A+B}{2} = \frac{C+D-A-B}{2}$

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, то $\vec{AD} = \vec{BC}$, что в радиус-векторах означает $D-A = C-B$, или $D = A+C-B$.

Подставим это выражение для $D$ в формулу для $\vec{MP}$:

$\vec{MP} = \frac{C+(A+C-B)-A-B}{2} = \frac{2C-2B}{2} = C-B = \vec{BC}$

Таким образом, мы получили ключевое соотношение: вектор $\vec{BC}$ равен вектору $\vec{MP}$. Это означает, что сторона $BC$ параллельна отрезку $MP$ и равна ему по длине.

2. Алгоритм построения.

Пусть нам даны три точки $M, N, P$. Для построения одного из трех возможных параллелограммов (где $N$ — середина стороны, смежной со сторонами, середины которых — $M$ и $P$) выполним следующие шаги:

1. Соединяем точки $M$ и $P$ отрезком. Этот отрезок задает вектор $\vec{MP}$.
2. Поскольку $N$ является серединой стороны $BC$, а мы установили, что $\vec{BC} = \vec{MP}$, мы можем найти вершины $B$ и $C$. Точка $B$ и $C$ лежат на прямой, проходящей через $N$ и параллельной $MP$, причем $N$ — середина отрезка $BC$. Вершины $B$ и $C$ можно найти по формулам:
   $B = N - \frac{1}{2}\vec{BC} = N - \frac{1}{2}\vec{MP}$
   $C = N + \frac{1}{2}\vec{BC} = N + \frac{1}{2}\vec{MP}$
   Для построения: отложите от точки $N$ в противоположных направлениях на прямой, параллельной $MP$, векторы, равные по длине половине длины отрезка $MP$. Полученные точки будут вершинами $B$ и $C$.
3. Находим вершину $A$. Точка $M$ является серединой стороны $AB$. Следовательно, точка $A$ симметрична точке $B$ относительно точки $M$. Для ее построения нужно продлить отрезок $BM$ за точку $M$ на его длину. Векторно: $A = M + \vec{BM} = M + (M-B) = 2M-B$.
4. Находим вершину $D$. Точка $P$ является серединой стороны $CD$. Следовательно, точка $D$ симметрична точке $C$ относительно точки $P$. Векторно: $D = P + \vec{CP} = P + (P-C) = 2P-C$.
5. Соединяем точки $A, B, C, D$. Искомый параллелограмм $ABCD$ построен.

Два других решения задачи можно получить, меняя роли точек $M$, $N$ и $P$. Например, можно предположить, что $M$ является серединой "центральной" стороны, а $N$ и $P$ — серединами смежных с ней, и повторить построение.

Ответ: Задача имеет три решения. Для построения одного из них нужно выполнить описанный выше алгоритм, основанный на нахождении одной из сторон параллелограмма ($BC$) через вектор, соединяющий две другие данные точки ($M$ и $P$), а затем, используя свойство середин отрезков, найти все четыре вершины параллелограмма.