Номер 1291, страница 176 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1291. Постройте окружность, которая:

а) касается сторон данного угла и проходит через данную точку на его стороне;

б) касается одной стороны данного угла и высекает из другой его стороны отрезок данной длины;

в) имеет данный радиус и высекает на сторонах данного угла отрезки данной длины.

а) касается сторон данного угла и проходит через данную точку на его стороне;

Пусть дан угол с вершиной в точке $A$ и сторонами $l_1$ и $l_2$, и дана точка $M$ на стороне $l_1$.

Анализ:

• Поскольку искомая окружность касается обеих сторон угла, ее центр $O$ должен лежать на биссектрисе этого угла.
• Окружность касается стороны $l_1$ и проходит через точку $M$, лежащую на $l_1$. Это означает, что $M$ является точкой касания.
• Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, радиус $OM$ должен быть перпендикулярен стороне $l_1$. Таким образом, центр $O$ лежит на прямой, проходящей через $M$ перпендикулярно $l_1$.

Построение:

1. Построить биссектрису $b$ данного угла.
2. В точке $M$ на стороне $l_1$ построить прямую $p$, перпендикулярную $l_1$.
3. Точка пересечения $O$ биссектрисы $b$ и прямой $p$ является центром искомой окружности.
4. Отрезок $OM$ является радиусом $R$ окружности.
5. Построить окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OM$.

Доказательство:

Построенная окружность проходит через точку $M$ и касается стороны $l_1$ в этой точке, так как $OM \perp l_1$. Поскольку центр $O$ лежит на биссектрисе угла, он равноудален от его сторон $l_1$ и $l_2$. Расстояние от $O$ до $l_1$ равно $R$, следовательно, расстояние от $O$ до $l_2$ также равно $R$, и окружность касается стороны $l_2$. Таким образом, окружность удовлетворяет всем условиям. Задача имеет единственное решение.

Ответ: Центр искомой окружности является точкой пересечения биссектрисы данного угла и перпендикуляра к той стороне угла, на которой лежит данная точка, восстановленного в этой точке. Радиус окружности равен расстоянию от найденного центра до данной точки.

б) касается одной стороны данного угла и высекает из другой его стороны отрезок данной длины;

Пусть дан угол с вершиной в точке $A$ и сторонами $l_1$ и $l_2$, и дана длина отрезка $d$. Требуется построить окружность, которая касается стороны $l_1$ и высекает на стороне $l_2$ хорду длины $d$. Для решения используется метод гомотетии.

Построение:

1. Построение вспомогательной окружности:
   • Выбрать произвольную точку $T_0$ на стороне $l_1$.
   • Построить перпендикуляр к $l_1$ в точке $T_0$.
   • Выбрать на этом перпендикуляре (внутри угла) произвольную точку $O_0$ и принять ее за центр вспомогательной окружности. Радиус этой окружности $R_0 = O_0T_0$.
   • Построить окружность с центром $O_0$ и радиусом $R_0$. Она будет касаться стороны $l_1$.
   • Найти точки пересечения $P_0$ и $Q_0$ этой окружности со стороной $l_2$ и измерить длину хорды $d_0 = P_0Q_0$. (Если пересечения нет, следует выбрать точку $O_0$ дальше от $A$).
2. Построение искомой окружности:
   • Искомая окружность гомотетична вспомогательной с центром гомотетии в $A$ и коэффициентом $k = d/d_0$.
   • Радиус искомой окружности $R = R_0 \cdot k = R_0 \cdot (d/d_0)$. Построить отрезок $R$ (например, с помощью теоремы о пропорциональных отрезках).
   • Центр искомой окружности $O$ должен лежать на луче $AO_0$.
   • Также центр $O$ должен находиться на расстоянии $R$ от стороны $l_1$. Построить прямую $p$, параллельную $l_1$ и отстоящую от нее на расстояние $R$ (внутрь угла).
   • Точка пересечения луча $AO_0$ и прямой $p$ является искомым центром $O$.
   • Построить окружность с центром $O$ и радиусом $R$.

Доказательство:

Построенная окружность по построению касается стороны $l_1$. Так как она является образом вспомогательной окружности при гомотетии с коэффициентом $k = d/d_0$, то хорда, высекаемая ею на стороне $l_2$, будет иметь длину $d_0 \cdot k = d_0 \cdot (d/d_0) = d$. Задача решена. Существует второе решение, если поменять ролями стороны $l_1$ и $l_2$.

Ответ: Сначала строится вспомогательная окружность, касающаяся одной из сторон угла в произвольной точке. Затем с помощью гомотетии с центром в вершине угла эта окружность преобразуется в искомую. Коэффициент гомотетии равен отношению заданной длины отрезка к длине отрезка, высекаемого вспомогательной окружностью.

в) имеет данный радиус и высекает на сторонах данного угла отрезки данной длины.

Пусть дан угол с вершиной в точке $A$, заданный радиус $R$ и заданная длина отрезка $d$.

Анализ:

• Пусть $O$ - центр искомой окружности. Если окружность радиуса $R$ высекает на прямой хорду длины $d$, то расстояние $h$ от центра окружности до этой прямой можно найти из прямоугольного треугольника с гипотенузой $R$ и катетом $d/2$. По теореме Пифагора, $h^2 + (d/2)^2 = R^2$, откуда $h = \sqrt{R^2 - (d/2)^2}$.
• Поскольку окружность высекает на обеих сторонах угла хорды одинаковой длины $d$, ее центр $O$ должен быть равноудален от обеих сторон. Геометрическое место таких точек - биссектриса угла.
• Таким образом, центр $O$ лежит на биссектрисе угла и одновременно находится на расстоянии $h$ от каждой из его сторон.

Построение:

1. Построение расстояния $h$:
   • Построить отрезок длиной $d/2$, разделив отрезок $d$ пополам.
   • Построить прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной $R$, и одним катетом, равным $d/2$. Длина второго катета будет равна искомому расстоянию $h$. Это построение возможно только при $R \ge d/2$. Далее считаем $R > d/2$.
2. Нахождение центра $O$:
   • Построить биссектрису $b$ данного угла.
   • Построить прямую $p$, параллельную одной из сторон угла и отстоящую от нее на расстояние $h$ (внутрь угла).
   • Точка пересечения $O$ биссектрисы $b$ и прямой $p$ является центром искомой окружности.
3. Построение окружности:
   • Построить окружность с центром в точке $O$ и заданным радиусом $R$.

Доказательство:

Радиус окружности равен $R$. Центр $O$ лежит на биссектрисе, поэтому он равноудален от сторон угла. Расстояние до одной стороны по построению равно $h = \sqrt{R^2 - (d/2)^2}$, значит, и до второй расстояние такое же. Длина хорды, высекаемой на стороне, при таком расстоянии от центра и радиусе $R$, равна $2\sqrt{R^2 - h^2} = 2\sqrt{R^2 - (R^2 - (d/2)^2)} = 2\sqrt{(d/2)^2} = d$. Окружность удовлетворяет условиям. Задача имеет одно решение (внутри угла) при $R > d/2$.

Ответ: Центр искомой окружности является точкой пересечения биссектрисы данного угла и прямой, параллельной одной из сторон угла и отстоящей от нее на расстояние $h = \sqrt{R^2 - (d/2)^2}$, где $R$ — заданный радиус, а $d$ — заданная длина отрезка. Радиус окружности равен $R$. Построение возможно при $R > d/2$.