Номер 1293, страница 176 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1293. Проведите прямую так, чтобы:

а) две данные пересекающиеся прямые высекали из нее отрезок данной длины и угол с одной из них был равен данному углу;

б) она касалась данной окружности и образовывала с данной прямой данный угол.

а)

Пусть даны две пересекающиеся в точке $O$ прямые $l_1$ и $l_2$, отрезок длины $d$ и угол $\alpha$. Требуется построить прямую $m$, которая пересекает прямые $l_1$ и $l_2$ в точках $A$ и $B$ соответственно так, что длина отрезка $AB$ равна $d$, а угол между прямой $m$ и прямой $l_1$ равен $\alpha$.

Анализ: Рассмотрим треугольник $\triangle OAB$, образованный искомой прямой $m$ и данными прямыми $l_1$ и $l_2$. Пусть угол между прямыми $l_1$ и $l_2$ равен $\beta$, то есть $\angle AOB = \beta$. По условию, $|AB| = d$, и угол между прямой $m$ (то есть прямой $AB$) и прямой $l_1$ (то есть прямой $OA$) равен $\alpha$, так что $\angle OAB = \alpha$ (или $180^\circ - \alpha$). Применим теорему синусов для треугольника $\triangle OAB$: $$ \frac{|OB|}{\sin(\angle OAB)} = \frac{|AB|}{\sin(\angle AOB)} $$ Подставляя известные значения, получаем: $$ \frac{|OB|}{\sin(\alpha)} = \frac{d}{\sin(\beta)} $$ Отсюда можно выразить длину отрезка $OB$: $$ |OB| = \frac{d \sin(\alpha)}{\sin(\beta)} $$ Это соотношение позволяет найти положение точки $B$ на прямой $l_2$, что и является ключом к построению.

Построение:

1. Сначала построим вспомогательный отрезок длиной $L = \frac{d \sin(\alpha)}{\sin(\beta)}$. Это можно сделать в два шага:
а) Строим прямоугольный треугольник с гипотенузой $d$ и острым углом $\alpha$. Катет, противолежащий этому углу, будет иметь длину $d_1 = d \sin(\alpha)$.
б) Строим другой прямоугольный треугольник с острым углом $\beta$ и катетом, противолежащим ему, длиной $d_1$. Гипотенуза этого треугольника будет иметь искомую длину $L = \frac{d_1}{\sin(\beta)} = \frac{d \sin(\alpha)}{\sin(\beta)}$.

2. На прямой $l_2$ отложим от точки $O$ отрезок длины $L$. Получим две возможные точки, $B_1$ и $B_2$, расположенные по разные стороны от $O$. Эти точки можно найти как пересечение прямой $l_2$ с окружностью с центром в $O$ и радиусом $L$.

3. Для каждой из найденных точек (например, для $B_1$) найдем соответствующую точку $A$ на прямой $l_1$. По условию, точка $A$ должна находиться на расстоянии $d$ от точки $B_1$. Геометрическим местом таких точек является окружность с центром в $B_1$ и радиусом $d$.

4. Построим окружность с центром в $B_1$ и радиусом $d$. Найдем точки ее пересечения с прямой $l_1$. Расстояние от точки $B_1$ до прямой $l_1$ равно $|OB_1|\sin(\beta) = L\sin(\beta) = \left(\frac{d \sin(\alpha)}{\sin(\beta)}\right)\sin(\beta) = d \sin(\alpha)$. Так как $\sin(\alpha) \leq 1$, это расстояние не превышает радиус $d$. Следовательно, окружность всегда пересечет прямую $l_1$ (в двух точках, если $\alpha < 90^\circ$, или коснется ее в одной точке, если $\alpha = 90^\circ$). Пусть точки пересечения - $A_1$ и $A_2$.

5. Прямые $A_1B_1$ и $A_2B_1$ являются решениями задачи. Аналогичное построение для точки $B_2$ дает еще две прямые-решения. Таким образом, в общем случае задача имеет четыре решения.

Ответ: Задача решается путем нахождения на одной из данных прямых ($l_2$) точек ($B$), удаленных от точки пересечения прямых ($O$) на расстояние $L = \frac{d \sin(\alpha)}{\sin(\beta)}$, и последующего нахождения на другой прямой ($l_1$) точек ($A$) путем пересечения ее с окружностью радиуса $d$ с центром в точке $B$.

б)

Пусть даны окружность $C$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$, прямая $l$ и угол $\gamma$. Требуется построить прямую $m$, которая касается окружности $C$ и образует с прямой $l$ угол $\gamma$.

Анализ: Условие, что искомая прямая $m$ образует с прямой $l$ угол $\gamma$, задает ее направление (наклон). В общем случае существует два семейства параллельных прямых, удовлетворяющих этому условию. Условие, что прямая $m$ касается окружности $C$, означает, что расстояние от центра окружности $O$ до прямой $m$ должно быть равно радиусу $R$.

Построение:

1. Определение направлений искомой прямой.
а) Выберем на прямой $l$ произвольную точку $P$.
б) Через точку $P$ проведем прямую $d_1$, образующую с прямой $l$ угол $\gamma$. Эта прямая задает первое возможное направление для искомой прямой $m$.
в) Аналогично через точку $P$ проведем прямую $d_2$, также образующую угол $\gamma$ с прямой $l$, но по другую сторону от $l$ (или от перпендикуляра к $l$ в точке $P$). Эта прямая задает второе возможное направление.

2. Построение касательных для первого направления.
а) Требуется построить касательные к окружности $C$, параллельные прямой $d_1$.
б) Проведем через центр окружности $O$ прямую $n_1$, перпендикулярную прямой $d_1$.
в) Прямая $n_1$ пересечет окружность $C$ в двух точках, назовем их $T_1$ и $T'_1$.
г) Искомые касательные $m_1$ и $m_2$ проходят через точки $T_1$ и $T'_1$ перпендикулярно радиусам $OT_1$ и $OT'_1$ (а значит, и перпендикулярно прямой $n_1$). Таким образом, они будут параллельны прямой $d_1$. Построим эти две прямые.

3. Построение касательных для второго направления.
а) Аналогично, построим касательные к окружности $C$, параллельные прямой $d_2$.
б) Проведем через центр $O$ прямую $n_2$, перпендикулярную прямой $d_2$.
в) Эта прямая пересечет окружность в двух точках, $T_2$ и $T'_2$.
г) Через точки $T_2$ и $T'_2$ проведем прямые $m_3$ и $m_4$, параллельные $d_2$.

4. Прямые $m_1, m_2, m_3, m_4$ являются решениями задачи. В общем случае задача имеет четыре решения. Построение возможно всегда.

Ответ: Задача решается определением двух возможных направлений для искомой прямой (образующих угол $\gamma$ с данной прямой $l$), и для каждого направления строятся две параллельные ему касательные к данной окружности.