Номер 1292, страница 176 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1292. Через данную точку проведите прямую так, чтобы две данные параллельные прямые высекали из нее отрезок данной длины.

Пусть даны параллельные прямые $a$ и $b$, точка $P$ и длина отрезка $L$. Требуется построить прямую, проходящую через точку $P$, которая пересекает прямые $a$ и $b$ в точках $A$ и $B$ соответственно, так, чтобы длина отрезка $AB$ была равна $L$.

Анализ задачи

Рассмотрим искомую прямую $c$. Отрезок $AB$, который она высекает, является секущей для параллельных прямых. Пусть $h$ — расстояние между прямыми $a$ и $b$. Если из точки $A$ на прямой $a$ опустить перпендикуляр $AH$ на прямую $b$, то образуется прямоугольный треугольник $AHB$, в котором $AB$ является гипотенузой, а катет $AH$ равен $h$. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда не меньше катета, то есть $AB \ge AH$, или $L \ge h$.

Это означает, что задача имеет решение только в том случае, если заданная длина $L$ не меньше расстояния $h$ между параллельными прямыми. Если $L < h$, то построить такой отрезок невозможно.

Все прямые, которые высекают на данных параллельных прямых отрезки равной длины $L$, образуют одинаковый угол с этими прямыми. Следовательно, все такие прямые будут либо параллельны друг другу, либо принадлежать двум семействам параллельных прямых, симметричных относительно перпендикуляра к $a$ и $b$. Этот факт позволяет свести задачу к построению одной вспомогательной прямой с нужным свойством, а затем провести через данную точку $P$ прямую, параллельную ей.

Построение

1. На одной из данных прямых, например на прямой $a$, выберем произвольную точку $A'$.
2. Построим окружность с центром в точке $A'$ и радиусом, равным данной длине $L$.
3. Найдем точки пересечения этой окружности с прямой $b$. В зависимости от соотношения $L$ и $h$, возможны три случая:
   • Если $L > h$, окружность пересечет прямую $b$ в двух точках ($B'_1$ и $B'_2$).
   • Если $L = h$, окружность коснется прямой $b$ в одной точке ($B'$).
   • Если $L < h$, точек пересечения не будет, и дальнейшее построение невозможно.
4. Предположим, что $L \ge h$. Проведем прямую $c'$ через точку $A'$ и одну из найденных точек пересечения, например $B'_1$. По построению, прямая $c'$ высекает на прямых $a$ и $b$ отрезок $A'B'_1$ длиной $L$.
5. Через данную точку $P$ проведем прямую $c$, параллельную построенной вспомогательной прямой $c'$.

Прямая $c$ является искомой.

Доказательство

Построенная прямая $c$ по определению проходит через точку $P$. Так как $c \parallel c'$ и $a \parallel b$, четырехугольник, образованный точками пересечения прямых $c$ и $c'$ с прямыми $a$ и $b$, является параллелограммом. Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому отрезок, высекаемый прямой $c$, равен отрезку $A'B'_1$. Поскольку длина $A'B'_1$ по построению равна $L$, то и длина отрезка, высекаемого искомой прямой $c$, также равна $L$.

Исследование числа решений

Число решений задачи зависит от соотношения между длиной $L$ и расстоянием $h$ между прямыми.

• Если $L < h$, окружность на шаге 3 не пересекает прямую $b$. Задача не имеет решений.
• Если $L = h$, окружность касается прямой $b$ в одной точке. Это соответствует единственному направлению (перпендикулярному к прямым $a$ и $b$). Через точку $P$ можно провести только одну такую прямую. Задача имеет одно решение.
• Если $L > h$, окружность пересекает прямую $b$ в двух точках. Это дает два разных направления для вспомогательной прямой. Следовательно, через точку $P$ можно провести две искомые прямые. Задача имеет два решения.

Ответ: Построение выполняется путем нахождения вспомогательной прямой, высекающей отрезок заданной длины, и проведения через данную точку прямой, параллельной вспомогательной. Задача может иметь ноль, одно или два решения в зависимости от соотношения заданной длины и расстояния между параллельными прямыми.