Номер 1294, страница 176 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1294. Постройте точку, находящуюся:

а) на данном расстоянии от данной точки и на данном расстоянии от данной прямой;

б) на равных расстояниях от сторон данного угла и на данном расстоянии от данной прямой;

в) на равных расстояниях от двух данных точек и на данном расстоянии от данной прямой;

Для решения этих задач используется метод геометрических мест точек (ГМТ). Искомая точка должна удовлетворять двум условиям. Каждое условие определяет некоторое ГМТ. Искомая точка является пересечением этих двух ГМТ.

Пусть нам дана точка $A$, прямая $l$, расстояние $d_1$ и расстояние $d_2$. Искомая точка $X$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Расстояние от $X$ до $A$ равно $d_1$. ГМТ, удовлетворяющих этому условию, — это окружность с центром в $A$ и радиусом $d_1$.
2. Расстояние от $X$ до прямой $l$ равно $d_2$. ГМТ, удовлетворяющих этому условию, — это пара прямых, параллельных прямой $l$ и отстоящих от неё на расстояние $d_2$.

Таким образом, искомые точки — это точки пересечения окружности с парой параллельных прямых.

Порядок построения:

1. Строим окружность с центром в данной точке $A$ и радиусом $d_1$.
2. Строим две прямые, параллельные данной прямой $l$ и находящиеся на расстоянии $d_2$ от неё. Для этого из произвольной точки $P$ на прямой $l$ восстанавливаем перпендикуляр и откладываем на нём в обе стороны отрезки длиной $d_2$. Через концы этих отрезков проводим прямые, параллельные $l$.
3. Точки пересечения построенной окружности и двух параллельных прямых являются искомыми.

В зависимости от взаимного расположения окружности и прямых, задача может иметь от нуля до четырёх решений.

Ответ: Искомые точки являются точками пересечения окружности с центром в данной точке и радиусом, равным первому данному расстоянию, и двух прямых, параллельных данной прямой и отстоящих от неё на второе данное расстояние.

Пусть нам дан угол, прямая $l$ и расстояние $d$. Искомая точка $X$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Точка $X$ равноудалена от сторон данного угла. ГМТ, удовлетворяющих этому условию, — это биссектриса данного угла.
2. Расстояние от $X$ до прямой $l$ равно $d$. ГМТ, удовлетворяющих этому условию, — это пара прямых, параллельных прямой $l$ и отстоящих от неё на расстояние $d$.

Таким образом, искомые точки — это точки пересечения биссектрисы угла с парой параллельных прямых.

Порядок построения:

1. Строим биссектрису данного угла.
2. Строим две прямые, параллельные данной прямой $l$ и находящиеся на расстоянии $d$ от неё.
3. Точки пересечения биссектрисы и двух параллельных прямых являются искомыми.

Биссектриса является лучом, поэтому она может пересечь параллельные прямые в двух, одной или не пересечь вовсе. Соответственно, задача может иметь два, одно или ноль решений.

Ответ: Искомые точки являются точками пересечения биссектрисы данного угла и двух прямых, параллельных данной прямой и отстоящих от неё на данное расстояние.

Пусть нам даны две точки $A$ и $B$, прямая $l$ и расстояние $d$. Искомая точка $X$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Точка $X$ равноудалена от точек $A$ и $B$. ГМТ, удовлетворяющих этому условию, — это серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.
2. Расстояние от $X$ до прямой $l$ равно $d$. ГМТ, удовлетворяющих этому условию, — это пара прямых, параллельных прямой $l$ и отстоящих от неё на расстояние $d$.

Таким образом, искомые точки — это точки пересечения серединного перпендикуляра с парой параллельных прямых.

Порядок построения:

1. Строим серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему данные точки $A$ и $B$.
2. Строим две прямые, параллельные данной прямой $l$ и находящиеся на расстоянии $d$ от неё.
3. Точки пересечения серединного перпендикуляра и двух параллельных прямых являются искомыми.

В общем случае, когда серединный перпендикуляр не параллелен данной прямой, задача имеет два решения. Если он параллелен данной прямой, решений может не быть, или их может быть бесконечно много (в случае совпадения с одной из построенных прямых).

Ответ: Искомые точки являются точками пересечения серединного перпендикуляра к отрезку, соединяющему две данные точки, и двух прямых, параллельных данной прямой и отстоящих от неё на данное расстояние.