Номер 1289, страница 175 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1289. Даны две концентрические окружности. Проведите прямую так, чтобы хорды, высекаемые на ней, относились как 3 : 1.

Пусть даны две концентрические окружности с центром в точке $O$, радиусом большей окружности $R$ и радиусом меньшей окружности $r$ (при этом $R > r$). Требуется провести прямую, которая пересекает большую окружность в точках $A$ и $B$, а меньшую — в точках $C$ и $D$, так, чтобы длина хорды $AB$ относилась к длине хорды $CD$ как 3:1, то есть $AB = 3CD$.

Анализ

Проведем из центра $O$ перпендикуляр $OM$ к искомой прямой. По свойству хорды, точка $M$ является серединой как хорды $AB$, так и хорды $CD$. Длины хорд можно выразить через половины: $AB = 2AM$ и $CD = 2CM$. Условие задачи $AB = 3CD$ тогда примет вид $2AM = 3(2CM)$, откуда следует, что $AM = 3CM$.

Это означает, что точки $C$ и $D$ делят хорду $AB$ на три равные части. Действительно, пусть точки на прямой расположены в порядке $A, C, M, D, B$. Тогда длина отрезка $AC = AM - CM = 3CM - CM = 2CM$. Длина хорды $CD = 2CM$. Из-за симметрии, длина отрезка $DB = AC = 2CM$. Таким образом, $AC = CD = DB$, и вся хорда $AB = AC + CD + DB = 3CD$. Это ключевое геометрическое свойство, которое мы используем для построения.

Построение

Для построения искомой прямой воспользуемся методом гомотетии (преобразования подобия). Свойство $AC = CD = DB$ означает, что $AC = \frac{1}{3}AB$. Это можно записать в векторном виде как $\vec{AC} = \frac{1}{3}\vec{AB}$ (если считать, что точка $C$ лежит между $A$ и $M$). Это означает, что точка $C$ является образом точки $B$ при гомотетии с центром в точке $A$ и коэффициентом $k = 1/3$.

Точка $B$ лежит на большей окружности. Следовательно, точка $C$ должна лежать на образе большей окружности при указанной гомотетии. В то же время, по условию, точка $C$ должна лежать на меньшей окружности. Значит, точку $C$ можно найти как точку пересечения меньшей окружности и образа большей окружности.

Алгоритм построения:

1. Выберем на большей окружности произвольную точку $A$.
2. Построим образ большей окружности при гомотетии с центром в точке $A$ и коэффициентом $k=1/3$. Образом будет новая окружность.
   • Её центр $O'$ будет лежать на отрезке $AO$, причём $AO' = \frac{2}{3}AO$. Другими словами, $\vec{OO'} = \frac{1}{3}\vec{OA}$, то есть $O'$ делит радиус $AO$ в отношении 1:2, считая от центра $O$. Для построения точки $O'$ можно разделить отрезок $AO$ на три равные части.
   • Её радиус $R'$ будет равен $R' = R/3$.
3. Построим эту новую окружность с центром $O'$ и радиусом $R'$.
4. Найдём точки пересечения построенной окружности и исходной меньшей окружности. Обозначим одну из этих точек как $C$. Если точек пересечения нет, то задача не имеет решения.
5. Проведём прямую через точки $A$ и $C$. Эта прямая является искомой.

Доказательство

Пусть прямая $l$, проведённая через точки $A$ и $C$, пересекает большую окружность в точках $A$ и $B$, а малую — в точках $C$ и $D$. По построению, точка $A$ лежит на большей окружности, а точка $C$ — на меньшей. Также по построению точка $C$ лежит на окружности, являющейся образом большей окружности при гомотетии с центром $A$ и коэффициентом $1/3$. Это означает, что существует точка $B$ на большей окружности такая, что $C$ — её образ. Следовательно, точки $A, C, B$ лежат на одной прямой, и выполняется соотношение $AC = \frac{1}{3}AB$.

Из $AC = \frac{1}{3}AB$ и симметрии относительно перпендикуляра из центра $O$ следует, что точки $C$ и $D$ делят хорду $AB$ на три равные части: $AC=CD=DB$. Отсюда $AB = AC+CD+DB = 3CD$. Отношение длин хорд $AB$ и $CD$ равно 3:1. Построение верно.

Исследование

Решение задачи существует, если построенная на шаге 3 окружность (с центром $O'$ и радиусом $R' = R/3$) пересекается с меньшей окружностью (с центром $O$ и радиусом $r$). Условие пересечения двух окружностей: расстояние между их центрами должно быть не больше суммы их радиусов и не меньше их разности.

Расстояние между центрами $OO' = R - AO' = R - \frac{2}{3}R = \frac{1}{3}R$. Условие пересечения: $|r - R'| \leq OO' \leq r + R'$. Подставляем значения: $|r - R/3| \leq R/3 \leq r + R/3$.

Рассмотрим неравенство $R/3 \leq r + R/3$. Оно сводится к $0 \leq r$, что всегда верно. Рассмотрим неравенство $|r - R/3| \leq R/3$. Это эквивалентно $-R/3 \leq r - R/3 \leq R/3$. Левая часть $-R/3 \leq r - R/3$ даёт $0 \leq r$, что верно. Правая часть $r - R/3 \leq R/3$ даёт $r \leq \frac{2}{3}R$. Ой, ошибка в вычислении $OO'$. Из $\vec{OO'} = \frac{1}{3}\vec{OA}$ следует, что $O'$ лежит на отрезке $OA$ и $OO' = \frac{1}{3}OA = \frac{1}{3}R$. Тогда условие пересечения: $|r - R/3| \leq R/3 \leq r + R/3$. $R/3 \leq r + R/3 \implies 0 \leq r$ (верно). $|r-R/3| \leq R/3 \implies -R/3 \leq r-R/3 \leq R/3$. $-R/3 \leq r-R/3 \implies 0 \leq r$ (верно). $r-R/3 \leq R/3 \implies r \leq 2R/3$. Вернемся к анализу из начала. $R^2 = OM^2 + AM^2$ и $r^2 = OM^2 + CM^2$. $AM = 3CM$. $R^2 = OM^2 + 9CM^2$. Вычитая второе из первого: $R^2 - r^2 = 8CM^2 \implies CM^2 = \frac{R^2-r^2}{8}$. $OM^2 = r^2 - CM^2 = r^2 - \frac{R^2-r^2}{8} = \frac{8r^2-R^2+r^2}{8} = \frac{9r^2-R^2}{8}$. Для существования решения необходимо, чтобы $OM^2 \geq 0$, то есть $9r^2 - R^2 \geq 0$, откуда $9r^2 \geq R^2$, или $3r \geq R$. Это и есть правильное условие.

Проверим условие пересечения окружностей в гомотетии еще раз. Центр гомотетии $A$. $\vec{AO'} = \frac{1}{3}\vec{AO}$. $\vec{OO'} = \vec{OA} + \vec{AO'} = \vec{OA} + \frac{1}{3}(\vec{O}-\vec{A}) = \vec{OA} - \frac{1}{3}\vec{OA} = \frac{2}{3}\vec{OA}$. $OO' = \frac{2}{3}R$. Условие пересечения: $|r - R/3| \leq \frac{2}{3}R \leq r + R/3$. Правое неравенство: $\frac{2}{3}R \leq r + \frac{R}{3} \implies \frac{R}{3} \leq r \implies R \leq 3r$. Левое неравенство: $|r - R/3| \leq \frac{2}{3}R \implies -(2/3)R \leq r-R/3 \leq (2/3)R$. $r-R/3 \leq 2R/3 \implies r \leq R$ (верно). $r-R/3 \geq -2R/3 \implies r \geq -R/3$ (верно). Следовательно, задача имеет решение, если $R \leq 3r$. Если $R < 3r$, будет два симметричных решения. Если $R=3r$ — одно решение. Если $R>3r$ — решений нет.

Ответ: Искомая прямая строится согласно вышеописанному алгоритму. Необходимо выбрать произвольную точку $A$ на большей окружности, построить образ большей окружности при гомотетии с центром $A$ и коэффициентом $1/3$, найти точку $C$ пересечения этого образа с меньшей окружностью и провести прямую через $A$ и $C$. Такое построение возможно при условии, что радиус большей окружности не более чем в три раза превосходит радиус меньшей ($R \le 3r$).