Номер 1284, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1284. Постройте равнобедренный треугольник:

а) по его основанию и углу при основании;

б) по его основанию и углу против основания;

в) по его основанию и отрезку, равному периметру;

г) по его боковой стороне и отрезку, равному периметру;

д) по его боковой стороне и высоте к основанию;

е) по его высоте и углу при вершине;

ж) по его основанию и высоте к боковой стороне;

з) по его боковой стороне и сумме высоты и основания;

и) по его боковой стороне и разности высоты и основания.

а) по его основанию и углу при основании;
Пусть дан отрезок $a$, равный основанию, и угол $\alpha$, равный углу при основании.
1. С помощью линейки строим отрезок $AC$, равный данному основанию $a$.
2. От луча $AC$ в одну полуплоскость откладываем угол, равный данному углу $\alpha$.
3. От луча $CA$ в ту же полуплоскость откладываем угол, равный данному углу $\alpha$.
4. Лучи, являющиеся вторыми сторонами построенных углов, пересекутся в некоторой точке $B$.
5. Треугольник $ABC$ — искомый, так как его основание $AC$ равно $a$, а углы при основании $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$.
Ответ: Треугольник построен.

б) по его основанию и углу против основания;
Пусть дан отрезок $a$, равный основанию, и угол $\beta$, равный углу при вершине (против основания).
1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Поэтому угол при основании $\alpha$ можно найти по формуле: $\alpha = (180^\circ - \beta) / 2$.
2. Геометрически для построения угла $\alpha$ нужно: построить угол, смежный с углом $\beta$ (он равен $180^\circ - \beta$), а затем построить его биссектрису.
3. Теперь задача сведена к предыдущему пункту: построить равнобедренный треугольник по основанию $a$ и углу при основании $\alpha$. Выполняем построение, описанное в пункте а).
Ответ: Треугольник построен.

в) по его основанию и отрезку, равному периметру;
Пусть дан отрезок $a$ (основание) и отрезок $P$ (периметр).
1. Периметр равнобедренного треугольника равен $P = a + 2b$, где $b$ — длина боковой стороны. Отсюда $2b = P - a$, и $b = (P - a) / 2$.
2. Строим отрезок, равный $P - a$. Для этого на прямой откладываем отрезок, равный $P$, и от одного из его концов откладываем внутрь отрезок, равный $a$. Оставшаяся часть будет равна $P - a$.
3. Делим полученный отрезок $P - a$ пополам с помощью циркуля и линейки. Получаем отрезок длиной $b$.
4. Теперь задача сводится к построению треугольника по трем сторонам: $a, b, b$.
5. Строим основание $AC$ длиной $a$.
6. Из точки $A$ проводим дугу окружности радиусом $b$.
7. Из точки $C$ проводим дугу окружности радиусом $b$.
8. Точка пересечения дуг $B$ является третьей вершиной треугольника. Соединяем точки $A, B, C$.
Ответ: Треугольник построен.

г) по его боковой стороне и отрезку, равному периметру;
Пусть дан отрезок $b$ (боковая сторона) и отрезок $P$ (периметр).
1. Периметр равен $P = a + 2b$, где $a$ — длина основания. Отсюда $a = P - 2b$.
2. Строим отрезок, равный $a$. Для этого на прямой откладываем отрезок $P$, и от одного из его концов последовательно откладываем внутрь два отрезка длиной $b$. Оставшаяся часть будет равна $a = P - 2b$.
3. Теперь задача сводится к построению треугольника по трем сторонам: $a, b, b$, что аналогично пункту в).
Ответ: Треугольник построен.

д) по его боковой стороне и высоте к основанию;
Пусть дана боковая сторона $b$ и высота к основанию $h$.
1. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Она делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника.
2. Рассмотрим один из таких прямоугольных треугольников. Его гипотенуза равна боковой стороне $b$, а один из катетов — высоте $h$.
3. Построение:
а) Проводим произвольную прямую. Выбираем на ней точку $H$.
б) Через точку $H$ проводим прямую, перпендикулярную исходной.
в) На перпендикуляре откладываем отрезок $HB$, равный высоте $h$.
г) Из точки $B$ как из центра проводим дугу окружности радиусом, равным боковой стороне $b$.
д) Эта дуга пересечет исходную прямую в двух точках: $A$ и $C$.
е) Соединяем точки $A, B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.
Ответ: Треугольник построен.

е) по его высоте и углу при вершине;
Пусть дана высота к основанию $h$ и угол при вершине $\beta$.
1. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой угла при вершине. Она делит этот угол на два равных угла величиной $\beta / 2$.
2. Эта высота делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. В каждом из них мы знаем катет (высоту $h$) и прилежащий к нему острый угол ($\beta / 2$).
3. Построение:
а) Строим угол, равный $\beta / 2$. Для этого данный угол $\beta$ делим пополам с помощью циркуля.
б) Проводим произвольную прямую и на ней выбираем точку $H$.
в) Через точку $H$ проводим прямую, перпендикулярную исходной, и откладываем на ней отрезок $HB$, равный высоте $h$.
г) От луча $BH$ откладываем угол, равный $\beta / 2$, так, чтобы вторая сторона угла пересекла исходную прямую в точке $A$.
д) На исходной прямой от точки $H$ откладываем отрезок $HC$, равный $HA$, в сторону, противоположную от $A$.
е) Соединяем точки $A, B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.
Ответ: Треугольник построен.

ж) по его основанию и высоте к боковой стороне;
Пусть дано основание $a$ и высота к боковой стороне $h_b$.
1. Анализ: Пусть искомый треугольник $ABC$ с основанием $AC = a$. Пусть $AH = h_b$ — высота, проведенная к стороне $BC$. Треугольник $AHC$ — прямоугольный с гипотенузой $AC=a$ и катетом $AH=h_b$. Мы можем его построить. Вершина $B$ лежит на прямой $CH$. Также, так как треугольник $ABC$ равнобедренный, $AB = BC$, то есть точка $B$ равноудалена от точек $A$ и $C$. Геометрическим местом таких точек является серединный перпендикуляр к отрезку $AC$.
2. Построение:
а) Строим отрезок $AC$ длиной $a$.
б) Строим прямоугольный треугольник $AHC$ по гипотенузе $AC=a$ и катету $AH=h_b$. Для этого из точки $A$ проводим окружность радиусом $h_b$, а из точки $C$ проводим касательную к этой окружности (или строим прямой угол с вершиной $H$ на окружности). Точка $H$ будет основанием высоты.
в) Проводим прямую через точки $C$ и $H$.
г) Строим серединный перпендикуляр к отрезку $AC$.
д) Точка пересечения прямой $CH$ и серединного перпендикуляра является вершиной $B$.
е) Соединяем точки $A, B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.
Ответ: Треугольник построен.

з) по его боковой стороне и сумме высоты и основания;
Пусть дана боковая сторона $b$ и сумма $S = h + a$, где $h$ — высота к основанию, $a$ — основание.
1. Введем обозначения: $h$ — высота, $x = a/2$ — половина основания. Связь между элементами в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, боковой стороной и половиной основания: $h^2 + x^2 = b^2$.
2. Данные задачи можно записать в виде системы уравнений:
$ \begin{cases} h + 2x = S \\ h^2 + x^2 = b^2 \end{cases} $
3. Эту систему можно решить методом построения. В системе координат $(x, h)$ первое уравнение задает прямую, а второе — окружность. Их точка пересечения в первой четверти даст нам искомые длины $x$ и $h$.
4. Построение:
а) Строим две перпендикулярные прямые — оси $Ox$ и $Oh$.
б) Строим прямую $h + 2x = S$. Для этого находим точки ее пересечения с осями: при $x=0, h=S$; при $h=0, x=S/2$. Отмечаем на оси $Oh$ точку $D(0, S)$ и на оси $Ox$ точку $E(S/2, 0)$. Проводим прямую $DE$.
в) Строим окружность $h^2 + x^2 = b^2$. Это окружность с центром в начале координат $O(0,0)$ и радиусом $b$.
г) Находим точку $M(x_0, h_0)$ пересечения прямой $DE$ и окружности. Отрезки $x_0$ и $h_0$ — это искомые половина основания и высота.
д) Зная $h_0$ и $x_0$, строим искомый треугольник, как в пункте д).
Ответ: Треугольник построен.

и) по его боковой стороне и разности высоты и основания.
Пусть дана боковая сторона $b$ и разность $d = |h - a|$, где $h$ — высота к основанию, $a$ — основание.
1. Как и в предыдущем пункте, используем переменные $h$ и $x = a/2$. Система уравнений будет:
$ \begin{cases} |h - 2x| = d \\ h^2 + x^2 = b^2 \end{cases} $
2. Это эквивалентно двум системам, соответствующим случаям $h > 2x$ и $h < 2x$.
Случай 1: $h - 2x = d$. Прямая $h = 2x + d$.
Случай 2: $2x - h = d$. Прямая $h = 2x - d$.
3. Построение аналогично пункту з):
а) Строим оси координат $Ox$ и $Oh$.
б) Строим окружность с центром в начале координат и радиусом $b$.
в) Строим прямые, соответствующие обоим случаям. Для $h = 2x + d$ находим точки пересечения с осями: $(0, d)$ и $(-d/2, 0)$. Для $h = 2x - d$ точки пересечения: $(0, -d)$ и $(d/2, 0)$.
г) Находим точку (или точки) пересечения окружности с одной из этих прямых в первой четверти (где $x>0, h>0$). Координаты этой точки $(x_0, h_0)$ дают нам искомые половину основания и высоту. В зависимости от соотношения $b$ и $d$ может быть два, одно или ни одного решения.
д) Зная $h_0$ и $x_0$, строим искомый треугольник, как в пункте д).
Ответ: Треугольник построен.