Номер 1282, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1282. Через данную точку $C$ проведите прямую так, чтобы две данные окружности высекали из нее равные отрезки.

Анализ

Пусть даны две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ с центрами $O_1$, $O_2$ и радиусами $R_1$, $R_2$ соответственно, и точка $C$. Требуется построить прямую $l$, проходящую через точку $C$, которая высекает из окружностей равные хорды.

Пусть прямая $l$ пересекает окружность $\omega_1$ в точках $A$ и $B$, а окружность $\omega_2$ в точках $D$ и $E$. По условию, длины хорд $AB$ и $DE$ равны. Обозначим эту длину через $L$, то есть $AB = DE = L$.

Пусть $d_1$ и $d_2$ — расстояния от центров $O_1$ и $O_2$ до прямой $l$. Длина хорды в окружности связана с радиусом и расстоянием от центра до хорды соотношением, вытекающим из теоремы Пифагора. Для окружности $\omega_1$ имеем:$R_1^2 = d_1^2 + (L/2)^2$

Для окружности $\omega_2$:$R_2^2 = d_2^2 + (L/2)^2$

Из этих двух равенств можно выразить $(L/2)^2$:$(L/2)^2 = R_1^2 - d_1^2 = R_2^2 - d_2^2$

Отсюда получаем основное условие, которому должна удовлетворять искомая прямая $l$:$d_1^2 - d_2^2 = R_1^2 - R_2^2$

Это условие связывает расстояния от центров окружностей до прямой $l$.

Рассмотрим точку $P$ на прямой $l$. Пусть $M_1$ и $M_2$ — проекции точек $O_1$ и $O_2$ на прямую $l$. Тогда $d_1 = O_1M_1$ и $d_2 = O_2M_2$. Для точки $P$ на прямой $l$ справедливы равенства:$PO_1^2 = PM_1^2 + O_1M_1^2 = PM_1^2 + d_1^2$$PO_2^2 = PM_2^2 + O_2M_2^2 = PM_2^2 + d_2^2$

Вычитая одно из другого, получаем:$PO_1^2 - PO_2^2 = (PM_1^2 - PM_2^2) + (d_1^2 - d_2^2)$

Подставим в это равенство наше основное условие $d_1^2 - d_2^2 = R_1^2 - R_2^2$:$PO_1^2 - PO_2^2 = (PM_1^2 - PM_2^2) + (R_1^2 - R_2^2)$

Это соотношение верно для любой точки $P$ на искомой прямой $l$. Выберем в качестве $P$ особую точку — точку пересечения прямой $l$ с радикальной осью $r$ окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$. Радикальная ось — это геометрическое место точек, степени которых относительно двух окружностей равны. Для любой точки $P$ на радикальной оси выполняется:$PO_1^2 - R_1^2 = PO_2^2 - R_2^2$, что эквивалентно $PO_1^2 - PO_2^2 = R_1^2 - R_2^2$.

Если точка $P$ является точкой пересечения прямой $l$ и радикальной оси $r$, то для нее должны выполняться оба выведенных соотношения. Приравнивая их, получаем:$(PM_1^2 - PM_2^2) + (R_1^2 - R_2^2) = R_1^2 - R_2^2$

Отсюда следует, что $PM_1^2 - PM_2^2 = 0$, или $PM_1 = PM_2$. Это означает, что точка $P$ является серединой отрезка $M_1M_2$.

Теперь рассмотрим геометрический смысл этого факта. Пусть $Q$ — середина отрезка $O_1O_2$. Четырехугольник $O_1O_2M_2M_1$ является прямоугольной трапецией (или прямоугольником). Отрезок $PQ$ соединяет середины ее боковых сторон ($O_1O_2$ и $M_1M_2$), следовательно, $PQ$ является средней линией трапеции и параллелен ее основаниям $O_1M_1$ и $O_2M_2$. Так как основания перпендикулярны прямой $l$, то и средняя линия $PQ$ перпендикулярна прямой $l$.

Искомая прямая $l$ проходит через точку $C$ и точку $P$. Значит, прямая $CP$ перпендикулярна прямой $PQ$. Это означает, что угол $\angle CPQ = 90^\circ$. Геометрическое место точек $P$, для которых угол $\angle CPQ$ прямой, — это окружность, построенная на отрезке $CQ$ как на диаметре.

Таким образом, точка $P$ должна принадлежать двум геометрическим местам:
1. Радикальной оси $r$ окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$.
2. Окружности $\gamma$, построенной на отрезке $CQ$ как на диаметре (где $Q$ — середина $O_1O_2$).

Точки пересечения этих двух ГМТ и определяют искомую прямую (или прямые).

Построение

1. Найти центры $O_1, O_2$ данных окружностей.
2. Построить середину $Q$ отрезка $O_1O_2$.
3. Построить радикальную ось $r$ данных окружностей. Радикальная ось является прямой, перпендикулярной линии центров $O_1O_2$. Для ее построения достаточно найти одну ее точку. Например, можно провести вспомогательную окружность, пересекающую обе данные, и найти точку пересечения общих хорд.
4. Построить окружность $\gamma$ на отрезке $CQ$ как на диаметре. Центр этой окружности — середина $CQ$, радиус равен $CQ/2$.
5. Найти точки пересечения $P_1$ и $P_2$ радикальной оси $r$ и окружности $\gamma$.
6. Провести прямые $CP_1$ и $CP_2$. Эти прямые являются искомыми.

Доказательство

Пусть $P$ — одна из точек пересечения радикальной оси $r$ и окружности $\gamma$ с диаметром $CQ$. Проведем прямую $l = CP$. Докажем, что она высекает из окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$ равные хорды.

По построению $P$ лежит на окружности с диаметром $CQ$, следовательно, $\angle CPQ = 90^\circ$, то есть $PQ \perp l$.
Пусть $M_1, M_2$ — проекции центров $O_1, O_2$ на прямую $l$. Пусть $P'$ — середина отрезка $M_1M_2$. Так как $Q$ — середина $O_1O_2$, то $QP'$ — средняя линия трапеции $O_1O_2M_2M_1$, и, следовательно, $QP' \perp l$.
Поскольку из точки $Q$ можно опустить на прямую $l$ только один перпендикуляр, то точки $P$ и $P'$ совпадают (если $Q$ не лежит на $l$). Таким образом, $P$ — середина отрезка $M_1M_2$, откуда $PM_1 = PM_2$.

По построению точка $P$ также лежит на радикальной оси, значит, для нее выполняется $PO_1^2 - PO_2^2 = R_1^2 - R_2^2$.
Из прямоугольных треугольников $\triangle PM_1O_1$ и $\triangle PM_2O_2$ имеем: $PO_1^2 = PM_1^2 + d_1^2$ и $PO_2^2 = PM_2^2 + d_2^2$.
Тогда $PO_1^2 - PO_2^2 = (PM_1^2 + d_1^2) - (PM_2^2 + d_2^2)$.
Так как $PM_1 = PM_2$, то $PM_1^2 - PM_2^2 = 0$. Следовательно, $PO_1^2 - PO_2^2 = d_1^2 - d_2^2$.
Приравнивая два выражения для $PO_1^2 - PO_2^2$, получаем $d_1^2 - d_2^2 = R_1^2 - R_2^2$.
Это равенство эквивалентно $R_1^2 - d_1^2 = R_2^2 - d_2^2$.
Так как квадраты половин длин хорд равны $(L_1/2)^2 = R_1^2 - d_1^2$ и $(L_2/2)^2 = R_2^2 - d_2^2$, то $(L_1/2)^2 = (L_2/2)^2$, откуда $L_1 = L_2$.
Доказательство завершено.

Исследование

Число решений задачи зависит от числа точек пересечения прямой (радикальной оси $r$) и окружности ($\gamma$ на диаметре $CQ$).

• Если прямая $r$ пересекает окружность $\gamma$ в двух точках ($P_1$ и $P_2$), задача имеет два решения.
• Если прямая $r$ касается окружности $\gamma$ в одной точке ($P$), задача имеет одно решение.
• Если прямая $r$ не пересекает окружность $\gamma$, задача не имеет решений.

Кроме того, для существования решения необходимо, чтобы построенная прямая пересекала обе окружности (а не проходила мимо). Это условие будет выполнено, если расстояние от центра до прямой не превышает радиус соответствующей окружности.

Ответ: Искомые прямые проходят через данную точку $C$ и точки пересечения $P$ радикальной оси данных окружностей и окружности, построенной на отрезке $CQ$ как на диаметре (где $Q$ — середина отрезка, соединяющего центры данных окружностей). Задача может иметь два, одно или не иметь решений в зависимости от взаимного расположения указанных радикальной оси и окружности.