Номер 1285, страница 175 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1285. Постройте прямоугольный треугольник:

а) по его катету и медиане, проведенной к другому катету;

б) по его катету и медиане, проведенной к этому катету;

в) по его катету и высоте, проведенной к гипотенузе;

г) по его острому углу и биссектрисе этого угла;

д) по его острому углу и медиане, проведенной к гипотенузе;

е) по его гипотенузе и медианам, проведенным к катетам.

а) по его катету и медиане, проведенной к другому катету;

Анализ. Пусть искомый прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Пусть дан катет $AC = b$ и медиана $AM = m_a$, проведенная к катету $BC$. Точка $M$ — середина катета $BC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACM$ (угол $C$ прямой). В этом треугольнике известны гипотенуза $AM = m_a$ и катет $AC = b$. Мы можем построить этот треугольник. Построив его, мы найдем катет $CM$. Так как $M$ — середина $BC$, то катет $BC = 2CM$. Таким образом, задача сводится к построению $\triangle ACM$ по катету и гипотенузе, а затем к удвоению катета $CM$.

Построение.

1. Строим прямой угол с вершиной в точке $C$.
2. На одном из лучей угла откладываем отрезок $CA$, равный данному катету $b$.
3. Строим окружность с центром в точке $A$ и радиусом, равным данной медиане $m_a$.
4. Точка пересечения этой окружности с другим лучом прямого угла будет точкой $M$. (Задача имеет решение, если $m_a > b$).
5. На луче $CM$ откладываем отрезок $MB = CM$ так, что точка $M$ лежит между $C$ и $B$.
6. Соединяем точки $A$ и $B$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство. По построению, $\triangle ABC$ является прямоугольным с $\angle C = 90^\circ$. Катет $AC$ равен $b$. Точка $M$ — середина стороны $BC$, следовательно, $AM$ — медиана к катету $BC$. Длина медианы $AM$ по построению равна $m_a$. Таким образом, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Треугольник построен согласно приведенному алгоритму.

б) по его катету и медиане, проведенной к этому катету;

Анализ. Пусть искомый прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Пусть дан катет $AC = b$ и медиана $BN = m_b$, проведенная к этому катету. Точка $N$ — середина катета $AC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCN$ (угол $C$ прямой). В этом треугольнике нам известен катет $CN = \frac{1}{2}AC = \frac{b}{2}$ и гипотенуза $BN = m_b$. Мы можем построить этот треугольник по катету и гипотенузе, найдя таким образом второй катет $BC$.

Построение.

1. Строим отрезок $AC$, равный данному катету $b$.
2. Находим середину отрезка $AC$ — точку $N$.
3. В точке $C$ проводим прямую, перпендикулярную $AC$.
4. Строим окружность с центром в точке $N$ и радиусом, равным данной медиане $m_b$.
5. Точка пересечения этой окружности и перпендикуляра к $AC$ будет вершиной $B$. (Задача имеет решение, если $m_b > \frac{b}{2}$).
6. Соединяем точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство. По построению, $\triangle ABC$ является прямоугольным с $\angle C = 90^\circ$. Катет $AC$ равен $b$. Точка $N$ — середина $AC$, следовательно, $BN$ — медиана. Длина медианы $BN$ по построению равна $m_b$. Таким образом, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Треугольник построен согласно приведенному алгоритму.

в) по его катету и высоте, проведенной к гипотенузе;

Анализ. Пусть искомый прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Пусть дан катет $AC = b$ и высота $CH = h_c$, проведенная к гипотенузе $AB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$ (угол $H$ прямой). В нем известны гипотенуза $AC = b$ и катет $CH = h_c$. Этот треугольник можно построить. Вершина $B$ лежит на прямой $AH$. Кроме того, $\angle ACB = 90^\circ$, что означает, что прямая $BC$ перпендикулярна прямой $AC$.

Построение.

1. Строим прямоугольный треугольник $ACH$ по гипотенузе $AC=b$ и катету $CH=h_c$. (Задача имеет решение, если $b > h_c$).
2. Проводим прямую через точки $A$ и $H$.
3. В точке $C$ проводим прямую, перпендикулярную отрезку $AC$.
4. Точка пересечения этих двух прямых (прямой $AH$ и перпендикуляра к $AC$ в точке $C$) будет вершиной $B$.
5. Соединяем точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство. По построению, катет $AC$ равен $b$. $CH$ является высотой, опущенной на сторону $AB$, и ее длина равна $h_c$. Угол $\angle ACB = 90^\circ$, так как прямая $BC$ была построена перпендикулярно $AC$. Таким образом, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Треугольник построен согласно приведенному алгоритму.

г) по его острому углу и биссектрисе этого угла;

Анализ. Пусть искомый прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Пусть дан острый угол $\angle A = \alpha$ и его биссектриса $AL = l_a$. Рассмотрим треугольник $ACL$. В нем известен угол $\angle CAL = \frac{\alpha}{2}$, прямой угол $\angle C = 90^\circ$ и гипотенуза $AL = l_a$. Этот треугольник можно построить по гипотенузе и острому углу.

Построение.

1. Строим угол, равный $\frac{\alpha}{2}$ (половине данного угла $\alpha$), с вершиной в точке $A$.
2. На одной из сторон этого угла откладываем отрезок $AL$, равный данной биссектрисе $l_a$.
3. Из точки $L$ опускаем перпендикуляр на другую сторону угла. Основание этого перпендикуляра будет вершиной $C$.
4. Мы получили треугольник $ACL$. Теперь строим искомый треугольник $ABC$. Прямая $AC$ уже есть.
5. Проводим прямую через точки $L$ и $C$.
6. Строим луч из точки $A$ так, чтобы он образовывал с лучом $AC$ угол, равный данному углу $\alpha$.
7. Точка пересечения этого луча с прямой $LC$ будет вершиной $B$.
8. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство. По построению, $\triangle ABC$ является прямоугольным с $\angle C = 90^\circ$. Угол $\angle CAB$ равен $\alpha$. Так как $\angle CAL = \frac{\alpha}{2}$, а $\angle CAB = \alpha$, то $AL$ является биссектрисой угла $A$. Длина $AL$ равна $l_a$. Таким образом, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Треугольник построен согласно приведенному алгоритму.

д) по его острому углу и медиане, проведенной к гипотенузе;

Анализ. Пусть искомый прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Пусть дан острый угол $\angle A = \alpha$ и медиана $CM = m_c$, проведенная к гипотенузе $AB$. Известно свойство прямоугольного треугольника: медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. То есть, $CM = AM = BM = m_c$. Отсюда следует, что треугольник $AMC$ является равнобедренным ($AM=CM$). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle ACM = \angle CAM = \alpha$. Угол при вершине $\angle AMC = 180^\circ - 2\alpha$. Таким образом, мы можем построить треугольник $AMC$ по двум сторонам ($AM=CM=m_c$) и углу между ними.

Построение.

1. Строим отрезок $AM$ длиной $m_c$.
2. От луча $AM$ в одной полуплоскости строим угол, равный $\alpha$, с вершиной в точке $A$.
3. От луча $MA$ в той же полуплоскости строим угол, равный $180^\circ - 2\alpha$, с вершиной в точке $M$.
4. Точка пересечения сторон этих углов будет вершиной $C$.
5. На продолжении отрезка $AM$ за точку $M$ откладываем отрезок $MB = AM = m_c$.
6. Соединяем точки $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство. По построению, $M$ — середина $AB$, значит $CM$ — медиана, и ее длина равна $m_c$. Угол $\angle A$ равен $\alpha$. В $\triangle AMC$ углы $\angle CAM = \angle ACM = \alpha$. В $\triangle CMB$ стороны $CM=MB=m_c$, он равнобедренный. $\angle CMB = 180^\circ - \angle AMC = 180^\circ - (180^\circ - 2\alpha) = 2\alpha$. Тогда $\angle MCB = \angle MBC = \frac{180^\circ - 2\alpha}{2} = 90^\circ - \alpha$. Угол $\angle ACB = \angle ACM + \angle MCB = \alpha + (90^\circ - \alpha) = 90^\circ$. Следовательно, $\triangle ABC$ — прямоугольный. Все условия выполнены.

Ответ: Треугольник построен согласно приведенному алгоритму.

е) по его гипотенузе и медианам, проведенным к катетам.

Анализ. Наиболее вероятная трактовка условия: построить прямоугольный треугольник по его гипотенузе $c$ и одной из медиан, проведенных к катету, например, $m_a$. Пусть катеты треугольника равны $a$ и $b$. Тогда справедливы соотношения: $a^2 + b^2 = c^2$ (теорема Пифагора) и $m_a^2 = b^2 + (\frac{a}{2})^2$ (теорема Пифагора для треугольника, образованного катетом $b$, половиной катета $a$ и медианой $m_a$). Решая эту систему уравнений относительно $a^2$ и $b^2$, получаем: $a^2 = \frac{4(c^2 - m_a^2)}{3}$ и $b^2 = \frac{4m_a^2 - c^2}{3}$. Задача сводится к построению отрезков $a$ и $b$ по этим формулам, а затем к построению прямоугольного треугольника по двум катетам. Для существования решения необходимо, чтобы выражения для $a^2$ и $b^2$ были положительными, что приводит к условию $\frac{c}{2} < m_a < c$.

Построение.

1. Построение отрезка $x = \sqrt{c^2 - m_a^2}$: строим прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$ и катетом $m_a$; второй катет будет равен $x$.
2. Построение отрезка $y = \sqrt{(2m_a)^2 - c^2}$: строим прямоугольный треугольник с гипотенузой $2m_a$ и катетом $c$; второй катет будет равен $y$.
3. Построение отрезка вида $z/\sqrt{3}$: строим прямоугольный треугольник $PQR$ с прямым углом $Q$ и $\angle R = 60^\circ$. Если катет $PQ=z$, то катет $QR = z/\sqrt{3}$.
4. Используя построение из п.3, строим катет $a' = x/\sqrt{3}$ и катет $b = y/\sqrt{3}$.
5. Искомый катет $a = 2a'$. Удваиваем отрезок $a'$.
6. Строим прямой угол с вершиной в точке $C$.
7. На одном луче откладываем отрезок $CA=b$.
8. На другом луче откладываем отрезок $CB=a$.
9. Соединяем точки $A$ и $B$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство. По построению $\triangle ABC$ прямоугольный. Проверим длины гипотенузы и медианы. Гипотенуза: $AB^2 = a^2 + b^2 = (2 \cdot \frac{x}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{y}{\sqrt{3}})^2 = \frac{4x^2}{3} + \frac{y^2}{3} = \frac{4(c^2 - m_a^2)}{3} + \frac{4m_a^2 - c^2}{3} = \frac{4c^2 - 4m_a^2 + 4m_a^2 - c^2}{3} = \frac{3c^2}{3} = c^2$. Значит, $AB = c$. Медиана к катету $a$: $AM^2 = AC^2 + CM^2 = b^2 + (\frac{a}{2})^2 = (\frac{y}{\sqrt{3}})^2 + (a')^2 = \frac{y^2}{3} + (\frac{x}{\sqrt{3}})^2 = \frac{y^2+x^2}{3} = \frac{(4m_a^2 - c^2) + (c^2 - m_a^2)}{3} = \frac{3m_a^2}{3} = m_a^2$. Значит, $AM=m_a$. Все условия задачи выполнены.

Ответ: Треугольник построен согласно приведенному алгоритму.