Номер 1253, страница 171 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1253. В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, $AC = b$, $BC = a$. Выразите вектор $\vec{CM}$ через векторы $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$, учитывая, что:

а) $M$ — основание высоты, проведенной из вершины $C$;

б) $M$ — центр вписанной окружности.

Введем обозначения для векторов: $\vec{y} = \vec{CA}$ и $\vec{x} = \vec{CB}$. По условию, в треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, следовательно, векторы $\vec{y}$ и $\vec{x}$ ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю: $\vec{y} \cdot \vec{x} = 0$. Длины векторов равны длинам катетов: $|\vec{y}| = |\vec{CA}| = b$ и $|\vec{x}| = |\vec{CB}| = a$.

а) M — основание высоты, проведенной из вершины C;

В этом случае высота $CM$ опущена на гипотенузу $AB$. Это означает, что точка $M$ лежит на отрезке $AB$, и вектор $\vec{CM}$ перпендикулярен вектору $\vec{AB}$. Выразим вектор $\vec{AB}$ через базисные векторы: $\vec{AB} = \vec{CB} - \vec{CA} = \vec{x} - \vec{y}$.

Поскольку точка $M$ лежит на прямой $AB$, вектор $\vec{CM}$ можно выразить через правило треугольника: $\vec{CM} = \vec{CA} + \vec{AM}$. Вектор $\vec{AM}$ коллинеарен вектору $\vec{AB}$, поэтому существует такое число $k$, что $\vec{AM} = k \cdot \vec{AB}$. Тогда $\vec{CM} = \vec{CA} + k \cdot \vec{AB} = \vec{y} + k(\vec{x} - \vec{y}) = (1-k)\vec{y} + k\vec{x}$.

Условие перпендикулярности $\vec{CM} \perp \vec{AB}$ означает, что скалярное произведение этих векторов равно нулю: $\vec{CM} \cdot \vec{AB} = 0$. $((1-k)\vec{y} + k\vec{x}) \cdot (\vec{x} - \vec{y}) = 0$.

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения: $(1-k)(\vec{y} \cdot \vec{x}) - (1-k)(\vec{y} \cdot \vec{y}) + k(\vec{x} \cdot \vec{x}) - k(\vec{x} \cdot \vec{y}) = 0$.

Учитывая, что $\vec{y} \cdot \vec{x} = 0$, $\vec{y} \cdot \vec{y} = |\vec{y}|^2 = b^2$ и $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2 = a^2$, получаем: $0 - (1-k)b^2 + ka^2 - 0 = 0$ $-b^2 + kb^2 + ka^2 = 0$ $k(a^2 + b^2) = b^2$ $k = \frac{b^2}{a^2 + b^2}$.

Теперь найдем второй коэффициент: $1-k = 1 - \frac{b^2}{a^2 + b^2} = \frac{a^2 + b^2 - b^2}{a^2 + b^2} = \frac{a^2}{a^2 + b^2}$.

Подставим найденные коэффициенты в выражение для $\vec{CM}$: $\vec{CM} = \frac{a^2}{a^2 + b^2}\vec{y} + \frac{b^2}{a^2 + b^2}\vec{x} = \frac{a^2}{a^2 + b^2}\vec{CA} + \frac{b^2}{a^2 + b^2}\vec{CB}$.

Ответ: $\vec{CM} = \frac{a^2}{a^2 + b^2}\vec{CA} + \frac{b^2}{a^2 + b^2}\vec{CB}$.

б) M — центр вписанной окружности.

Центр вписанной окружности (инцентр) $M$ является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Положение инцентра можно найти по формуле, выражающей его радиус-вектор через радиус-векторы вершин. Если выбрать вершину $C$ в качестве начала координат, то формула примет вид: $\vec{CM} = \frac{l_A \cdot \vec{CA} + l_B \cdot \vec{CB} + l_C \cdot \vec{CC}}{l_A + l_B + l_C}$, где $l_A, l_B, l_C$ — длины сторон, противолежащих вершинам $A, B, C$ соответственно.

В нашем треугольнике:

• $l_A = BC = a$
• $l_B = AC = b$
• $l_C = AB = c$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$, $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Вектор $\vec{CC}$ является нулевым вектором.

Подставим эти значения в формулу: $\vec{CM} = \frac{a \cdot \vec{CA} + b \cdot \vec{CB} + \sqrt{a^2+b^2} \cdot \vec{0}}{a + b + \sqrt{a^2+b^2}}$.

Упрощая, получаем итоговое выражение: $\vec{CM} = \frac{a \vec{CA} + b \vec{CB}}{a + b + \sqrt{a^2+b^2}} = \frac{a}{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}\vec{CA} + \frac{b}{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}\vec{CB}$.

Ответ: $\vec{CM} = \frac{a}{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}\vec{CA} + \frac{b}{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}\vec{CB}$.