Номер 1254, страница 171 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1254. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$. Учитывая, что $AB = c$ и $AC = b$, докажите равенство $\vec{AL} = \frac{b \cdot \vec{AB} + c \cdot \vec{AC}}{b+c}$.

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$. По условию задачи, длины сторон $AB = c$ и $AC = b$. Нам нужно доказать векторное равенство.

Воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника. Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В нашем случае это означает:
$\frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC}$

Подставив заданные длины сторон, получаем соотношение:
$\frac{BL}{LC} = \frac{c}{b}$

Это означает, что точка $L$ делит отрезок $BC$ в отношении $c:b$. Из этого соотношения мы можем выразить длину отрезка $BL$ через длину всей стороны $BC$. Так как $BC = BL + LC$ и $LC = BL \cdot \frac{b}{c}$, то $BC = BL + BL \cdot \frac{b}{c} = BL(1 + \frac{b}{c}) = BL(\frac{c+b}{c})$. Отсюда $BL = \frac{c}{b+c}BC$.

Поскольку векторы $\vec{BL}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены (имеют одинаковое направление), то их можно связать через такое же соотношение их длин:
$\vec{BL} = \frac{c}{b+c} \vec{BC}$

Теперь выразим искомый вектор $\vec{AL}$ по правилу треугольника для сложения векторов:
$\vec{AL} = \vec{AB} + \vec{BL}$

Подставим в это равенство полученное выражение для вектора $\vec{BL}$:
$\vec{AL} = \vec{AB} + \frac{c}{b+c} \vec{BC}$

Вектор $\vec{BC}$ можно выразить через векторы, исходящие из вершины $A$:
$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$

Подставим это выражение в формулу для $\vec{AL}$ и выполним преобразования:
$\vec{AL} = \vec{AB} + \frac{c}{b+c} (\vec{AC} - \vec{AB})$
$\vec{AL} = \vec{AB} - \frac{c}{b+c} \vec{AB} + \frac{c}{b+c} \vec{AC}$
$\vec{AL} = \left(1 - \frac{c}{b+c}\right) \vec{AB} + \frac{c}{b+c} \vec{AC}$
$\vec{AL} = \left(\frac{b+c-c}{b+c}\right) \vec{AB} + \frac{c}{b+c} \vec{AC}$
$\vec{AL} = \frac{b}{b+c} \vec{AB} + \frac{c}{b+c} \vec{AC}$

Приводя слагаемые к общему знаменателю, получаем окончательный результат:
$\vec{AL} = \frac{b \cdot \vec{AB} + c \cdot \vec{AC}}{b+c}$
Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство $\vec{AL} = \frac{b \cdot \vec{AB} + c \cdot \vec{AC}}{b+c}$ доказано.