Номер 1252, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1252. Докажите, что если противоположные звенья замкнутой шестизвенной ломаной попарно параллельны, то они и попарно равны, а сама ломаная имеет центр симметрии.

Пусть вершины замкнутой шестизвенной ломаной последовательно обозначены как $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$. Звенья ломаной можно представить в виде векторов: $\vec{v_1} = \vec{A_1A_2}$, $\vec{v_2} = \vec{A_2A_3}$, $\vec{v_3} = \vec{A_3A_4}$, $\vec{v_4} = \vec{A_4A_5}$, $\vec{v_5} = \vec{A_5A_6}$, $\vec{v_6} = \vec{A_6A_1}$.

Поскольку ломаная замкнута, сумма всех векторов, образующих её звенья, равна нулевому вектору: $$ \vec{v_1} + \vec{v_2} + \vec{v_3} + \vec{v_4} + \vec{v_5} + \vec{v_6} = \vec{0} $$

Противоположными звеньями в шестизвенной ломаной являются первое и четвертое ($A_1A_2$ и $A_4A_5$), второе и пятое ($A_2A_3$ и $A_5A_6$), третье и шестое ($A_3A_4$ и $A_6A_1$).

По условию задачи, противоположные звенья попарно параллельны. В векторной форме это означает, что соответствующие векторы коллинеарны, то есть один вектор можно выразить через другой с некоторым коэффициентом: $$ \vec{v_4} = k_1 \vec{v_1} $$ $$ \vec{v_5} = k_2 \vec{v_2} $$ $$ \vec{v_6} = k_3 \vec{v_3} $$ где $k_1, k_2, k_3$ — некоторые скалярные коэффициенты.

Подставим эти выражения в уравнение замкнутости ломаной: $$ \vec{v_1} + \vec{v_2} + \vec{v_3} + k_1 \vec{v_1} + k_2 \vec{v_2} + k_3 \vec{v_3} = \vec{0} $$ Сгруппируем слагаемые: $$ (1 + k_1)\vec{v_1} + (1 + k_2)\vec{v_2} + (1 + k_3)\vec{v_3} = \vec{0} $$

Это векторное равенство должно выполняться для любой ломаной, удовлетворяющей условию задачи. В общем случае (для невырожденной пространственной ломаной) векторы трех последовательных звеньев $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}$ являются линейно независимыми. Равенство нулю линейной комбинации линейно независимых векторов возможно только в том случае, когда все коэффициенты этой комбинации равны нулю. Следовательно: $$ 1 + k_1 = 0 \implies k_1 = -1 $$ $$ 1 + k_2 = 0 \implies k_2 = -1 $$ $$ 1 + k_3 = 0 \implies k_3 = -1 $$ Этот результат должен сохраняться и для вырожденного случая плоской ломаной, так как полученное векторное тождество не зависит от конкретного расположения векторов.

Доказательство того, что противоположные звенья попарно равны

Из того, что $k_1 = k_2 = k_3 = -1$, мы имеем: $$ \vec{v_4} = -\vec{v_1}, \quad \vec{v_5} = -\vec{v_2}, \quad \vec{v_6} = -\vec{v_3} $$ Длины векторов (которые являются длинами звеньев) находятся как их модули. Возьмем модули от обеих частей равенств: $$ |\vec{v_4}| = |-\vec{v_1}| = |\vec{v_1}| $$ $$ |\vec{v_5}| = |-\vec{v_2}| = |\vec{v_2}| $$ $$ |\vec{v_6}| = |-\vec{v_3}| = |\vec{v_3}| $$ Это означает, что длины противоположных звеньев равны: $|A_4A_5| = |A_1A_2|$, $|A_5A_6| = |A_2A_3|$ и $|A_6A_1| = |A_3A_4|$. Первая часть утверждения доказана.

Ответ: Противоположные звенья попарно равны, что и требовалось доказать.

Доказательство того, что ломаная имеет центр симметрии

Центр симметрии фигуры — это такая точка $O$, что для любой точки фигуры $A$ симметричная ей относительно $O$ точка $A'$ также принадлежит фигуре. Для ломаной это означает, что середины ее главных диагоналей ($A_1A_4$, $A_2A_5$, $A_3A_6$) совпадают.

Пусть $\vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_6}$ — радиус-векторы вершин ломаной. Середина диагонали $A_1A_4$ имеет радиус-вектор $\vec{m_1} = \frac{\vec{a_1} + \vec{a_4}}{2}$. Середина диагонали $A_2A_5$ имеет радиус-вектор $\vec{m_2} = \frac{\vec{a_2} + \vec{a_5}}{2}$.

Докажем, что эти середины совпадают, то есть $\vec{m_1} = \vec{m_2}$. Это эквивалентно равенству $\vec{a_1} + \vec{a_4} = \vec{a_2} + \vec{a_5}$, которое можно переписать как $\vec{a_2} - \vec{a_1} = \vec{a_4} - \vec{a_5}$.

Левая часть равенства: $\vec{a_2} - \vec{a_1} = \vec{A_1A_2} = \vec{v_1}$.

Правая часть равенства: $\vec{a_4} - \vec{a_5} = -(\vec{a_5} - \vec{a_4}) = -\vec{A_4A_5} = -\vec{v_4}$.

Таким образом, нам нужно доказать, что $\vec{v_1} = -\vec{v_4}$. Мы уже установили, что $\vec{v_4} = -\vec{v_1}$, откуда следует, что $\vec{v_1} = -(-\vec{v_1}) = \vec{v_1}$. Равенство верно, значит, середины диагоналей $A_1A_4$ и $A_2A_5$ совпадают.

Аналогично докажем совпадение середин диагоналей $A_2A_5$ и $A_3A_6$. Это эквивалентно равенству $\vec{a_2} + \vec{a_5} = \vec{a_3} + \vec{a_6}$, или $\vec{a_3} - \vec{a_2} = \vec{a_5} - \vec{a_6}$.

Левая часть: $\vec{a_3} - \vec{a_2} = \vec{A_2A_3} = \vec{v_2}$.

Правая часть: $\vec{a_5} - \vec{a_6} = -(\vec{a_6} - \vec{a_5}) = -\vec{A_5A_6} = -\vec{v_5}$.

Нужно доказать, что $\vec{v_2} = -\vec{v_5}$. Так как $\vec{v_5} = -\vec{v_2}$, равенство выполняется.

Таким образом, все три главные диагонали пересекаются в одной точке $O$, которая является серединой каждой из них. Эта точка $O$ является центром симметрии для набора вершин ломаной. При симметрии относительно точки $O$ вершина $A_i$ переходит в вершину $A_{i+3}$, а звено $A_iA_{i+1}$ переходит в звено $A_{i+3}A_{i+4}$, которое также является звеном данной ломаной. Следовательно, вся ломаная имеет центр симметрии.

Ответ: Ломаная имеет центр симметрии, что и требовалось доказать.