Номер 1246, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1246. Прямая пересекает плоскости $BCD, CDA, DAB, ABC$ в точках $A_1, B_1, C_1, D_1$ соответственно. Докажите, что середины отрезков $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$ лежат в одной плоскости.

Для решения этой задачи мы воспользуемся методом векторной алгебры и барицентрическими координатами.

Пусть в пространстве задан тетраэдр с вершинами $A, B, C, D$. Введем систему барицентрических координат, связанных с этим тетраэдром. Любую точку пространства $P$ можно представить в виде линейной комбинации векторов вершин:

$\vec{p} = \pi_A(\vec{p}) \vec{a} + \pi_B(\vec{p}) \vec{b} + \pi_C(\vec{p}) \vec{c} + \pi_D(\vec{p}) \vec{d}$

где $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ – радиус-векторы вершин тетраэдра, а коэффициенты $\pi_A, \pi_B, \pi_C, \pi_D$ – барицентрические координаты точки $P$. Для любой точки в пространстве сумма ее барицентрических координат равна 1:

$\pi_A(\vec{p}) + \pi_B(\vec{p}) + \pi_C(\vec{p}) + \pi_D(\vec{p}) = 1$

Плоскости граней тетраэдра в этой системе координат задаются очень просто:

• Плоскость $BCD$ (противоположная вершине $A$): $\pi_A(\vec{p}) = 0$
• Плоскость $CDA$ (противоположная вершине $B$): $\pi_B(\vec{p}) = 0$
• Плоскость $DAB$ (противоположная вершине $C$): $\pi_C(\vec{p}) = 0$
• Плоскость $ABC$ (противоположная вершине $D$): $\pi_D(\vec{p}) = 0$

Пусть прямая $l$ задана параметрическим уравнением $\vec{r}(t) = \vec{q} + t\vec{u}$, где $\vec{q}$ – радиус-вектор некоторой точки на прямой, а $\vec{u}$ – ее направляющий вектор.

Барицентрические координаты точки на прямой $\vec{r}(t)$ являются линейными функциями параметра $t$. Обозначим их $\pi_A(t), \pi_B(t), \pi_C(t), \pi_D(t)$.

Найдем точки пересечения прямой $l$ с плоскостями граней:

• Точка $A_1$ лежит на плоскости $BCD$, следовательно, ее барицентрическая координата $\pi_A$ равна нулю. Если $t_A$ – значение параметра для точки $A_1$, то $\pi_A(t_A) = 0$. Радиус-вектор точки $A_1$ есть $\vec{a}_1 = \vec{r}(t_A)$.
• Аналогично для точек $B_1, C_1, D_1$ и параметров $t_B, t_C, t_D$: $\pi_B(t_B) = 0 \implies \vec{b}_1 = \vec{r}(t_B)$
  $\pi_C(t_C) = 0 \implies \vec{c}_1 = \vec{r}(t_C)$
  $\pi_D(t_D) = 0 \implies \vec{d}_1 = \vec{r}(t_D)$

Обозначим через $M_A, M_B, M_C, M_D$ середины отрезков $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$ соответственно. Их радиус-векторы:

$\vec{m}_A = \frac{\vec{a} + \vec{a}_1}{2}, \quad \vec{m}_B = \frac{\vec{b} + \vec{b}_1}{2}, \quad \vec{m}_C = \frac{\vec{c} + \vec{c}_1}{2}, \quad \vec{m}_D = \frac{\vec{d} + \vec{d}_1}{2}$

Чтобы доказать, что эти четыре точки лежат в одной плоскости, достаточно найти такие четыре числа $k_A, k_B, k_C, k_D$, не все равные нулю, что их сумма равна нулю и выполняется векторное равенство:

$k_A \vec{m}_A + k_B \vec{m}_B + k_C \vec{m}_C + k_D \vec{m}_D = \vec{0}$

В качестве таких коэффициентов возьмем производные барицентрических координат по параметру $t$ вдоль прямой $l$:

$k_A = \frac{d\pi_A(t)}{dt}, \quad k_B = \frac{d\pi_B(t)}{dt}, \quad k_C = \frac{d\pi_C(t)}{dt}, \quad k_D = \frac{d\pi_D(t)}{dt}$

Поскольку $\pi_i(t)$ — линейные функции от $t$, их производные $k_i$ являются константами.

Продифференцируем тождество $\sum \pi_i(t) = 1$ по $t$:

$\frac{d}{dt}(\pi_A(t) + \pi_B(t) + \pi_C(t) + \pi_D(t)) = \frac{d(1)}{dt}$

$k_A + k_B + k_C + k_D = 0$

Таким образом, сумма выбранных коэффициентов равна нулю.

Теперь рассмотрим искомую линейную комбинацию:

$\sum k_i \vec{m}_i = k_A \frac{\vec{a} + \vec{a}_1}{2} + k_B \frac{\vec{b} + \vec{b}_1}{2} + k_C \frac{\vec{c} + \vec{c}_1}{2} + k_D \frac{\vec{d} + \vec{d}_1}{2}$

$\sum k_i \vec{m}_i = \frac{1}{2} \left( (k_A \vec{a} + k_B \vec{b} + k_C \vec{c} + k_D \vec{d}) + (k_A \vec{a}_1 + k_B \vec{b}_1 + k_C \vec{c}_1 + k_D \vec{d}_1) \right)$

Вычислим каждую из двух скобок отдельно.

1. Вычисление $\sum k_i \vec{x}_i$ (где $\vec{x}_A=\vec{a}, \vec{x}_B=\vec{b}$ и т.д.)

Воспользуемся тождеством $\vec{r}(t) = \sum \pi_i(t) \vec{x}_i$. Продифференцируем его по $t$:

$\frac{d\vec{r}(t)}{dt} = \frac{d}{dt} \sum \pi_i(t) \vec{x}_i$

Левая часть: $\frac{d}{dt}(\vec{q} + t\vec{u}) = \vec{u}$.

Правая часть (учитывая, что $\vec{x}_i$ — постоянные векторы): $\sum (\frac{d\pi_i(t)}{dt}) \vec{x}_i = \sum k_i \vec{x}_i$.

Следовательно, $k_A \vec{a} + k_B \vec{b} + k_C \vec{c} + k_D \vec{d} = \vec{u}$.

2. Вычисление $\sum k_i \vec{x}_{i1}$ (где $\vec{x}_{A1}=\vec{a}_1, \vec{x}_{B1}=\vec{b}_1$ и т.д.)

Так как $\pi_i(t)$ — линейная функция, ее можно записать в виде $\pi_i(t) = \pi_i(0) + t \cdot k_i$.

Для точки $A_1$ с параметром $t_A$ имеем $\pi_A(t_A) = 0$, то есть $\pi_A(0) + t_A k_A = 0$. Отсюда $t_A k_A = -\pi_A(0)$. Аналогично для других вершин: $t_B k_B = -\pi_B(0)$, $t_C k_C = -\pi_C(0)$, $t_D k_D = -\pi_D(0)$.

Теперь вычислим сумму:

$\sum k_i \vec{x}_{i1} = \sum k_i \vec{r}(t_i) = \sum k_i (\vec{q} + t_i \vec{u})$

$\sum k_i \vec{x}_{i1} = (\sum k_i) \vec{q} + (\sum k_i t_i) \vec{u}$

Поскольку $\sum k_i = 0$, первое слагаемое равно нулю.

$\sum k_i \vec{x}_{i1} = (\sum k_i t_i) \vec{u} = (k_A t_A + k_B t_B + k_C t_C + k_D t_D) \vec{u}$

Подставляем найденные значения $k_i t_i$:

$\sum k_i \vec{x}_{i1} = (-\pi_A(0) - \pi_B(0) - \pi_C(0) - \pi_D(0)) \vec{u} = -(\sum \pi_i(0)) \vec{u}$

Так как сумма барицентрических координат для любой точки (в том числе для $\vec{r}(0)=\vec{q}$) равна 1, получаем:

$\sum k_i \vec{a}_1 = -\vec{u}$.

Завершение доказательства

Подставим полученные результаты в исходное выражение для $\sum k_i \vec{m}_i$:

$\sum k_i \vec{m}_i = \frac{1}{2} ( \vec{u} + (-\vec{u}) ) = \frac{1}{2} \cdot \vec{0} = \vec{0}$

Мы нашли коэффициенты $k_A, k_B, k_C, k_D$, сумма которых равна нулю, и для которых линейная комбинация векторов $\vec{m}_A, \vec{m}_B, \vec{m}_C, \vec{m}_D$ равна нулевому вектору. Это означает, что точки $M_A, M_B, M_C, M_D$ компланарны, то есть лежат в одной плоскости.

Ответ: Доказано, что середины отрезков $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$ лежат в одной плоскости.