Номер 1240, страница 169 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1240. Точки $B$ и $D$ выбраны на прямых $AP$ и $AQ$, $C$ — точка пересечения прямых $QB$ и $PD$. Параллельные прямые, проведенные через точки $A, B, C, D$, пересекают прямую $PQ$ в точках $A_1, B_1, C_1, D_1$ соответственно (рис. 364). Докажите, что выполняется равенство

$\frac{1}{AA_1} + \frac{1}{CC_1} = \frac{1}{BB_1} + \frac{1}{DD_1}$.

Рис. 364

Доказательство

По условию, прямые $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$ параллельны. Это позволяет нам использовать свойства подобных треугольников.

Рассмотрим треугольник $ABQ$ и секущую (трансверсаль) $PCD$. По теореме Менелая для $ \triangle ABQ $ и прямой $PCD$ имеем:

$$ \frac{AP}{PB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QD}{DA} = 1 $$

Теперь выразим каждое отношение через длины заданных отрезков $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$.

1. Рассмотрим угол $ \angle APQ $ и параллельные прямые $AA_1$ и $BB_1$. Треугольники $ \triangle PBB_1 $ и $ \triangle PAA_1 $ подобны (по двум углам). Из подобия следует:

$$ \frac{AP}{PB} = \frac{AA_1}{BB_1} $$

2. Рассмотрим угол $ \angle AQP $ и параллельные прямые $AA_1$ и $DD_1$. Треугольники $ \triangle QDD_1 $ и $ \triangle QAA_1 $ подобны. Из подобия следует:

$$ \frac{QA}{QD} = \frac{AA_1}{DD_1} $$

Так как точка $D$ лежит на отрезке $AQ$, то $AQ = AD + DQ$. Выразим отношение $ \frac{QD}{DA} $:

$$ \frac{DA}{QD} = \frac{AQ - QD}{QD} = \frac{AQ}{QD} - 1 = \frac{AA_1}{DD_1} - 1 = \frac{AA_1 - DD_1}{DD_1} $$

Отсюда:

$$ \frac{QD}{DA} = \frac{DD_1}{AA_1 - DD_1} $$

3. Рассмотрим угол $ \angle BQP $ и параллельные прямые $BB_1$ и $CC_1$. Треугольники $ \triangle QCC_1 $ и $ \triangle QBB_1 $ подобны. Из подобия следует:

$$ \frac{QB}{QC} = \frac{BB_1}{CC_1} $$

Так как точка $C$ лежит на отрезке $BQ$, то $BQ = BC + CQ$. Выразим отношение $ \frac{BC}{CQ} $:

$$ \frac{BC}{CQ} = \frac{BQ - CQ}{CQ} = \frac{BQ}{QC} - 1 = \frac{BB_1}{CC_1} - 1 = \frac{BB_1 - CC_1}{CC_1} $$

Теперь подставим полученные выражения для отношений в уравнение теоремы Менелая:

$$ \frac{AA_1}{BB_1} \cdot \frac{BB_1 - CC_1}{CC_1} \cdot \frac{DD_1}{AA_1 - DD_1} = 1 $$

Преобразуем это равенство:

$$ \frac{AA_1 \cdot (BB_1 - CC_1) \cdot DD_1}{BB_1 \cdot CC_1 \cdot (AA_1 - DD_1)} = 1 $$

$$ AA_1 \cdot (BB_1 - CC_1) \cdot DD_1 = BB_1 \cdot CC_1 \cdot (AA_1 - DD_1) $$

Раскроем скобки:

$$ AA_1 \cdot BB_1 \cdot DD_1 - AA_1 \cdot CC_1 \cdot DD_1 = AA_1 \cdot BB_1 \cdot CC_1 - BB_1 \cdot CC_1 \cdot DD_1 $$

Разделим обе части уравнения на произведение $ AA_1 \cdot BB_1 \cdot CC_1 \cdot DD_1 $ (все длины по условию не равны нулю):

$$ \frac{AA_1 \cdot BB_1 \cdot DD_1}{AA_1 \cdot BB_1 \cdot CC_1 \cdot DD_1} - \frac{AA_1 \cdot CC_1 \cdot DD_1}{AA_1 \cdot BB_1 \cdot CC_1 \cdot DD_1} = \frac{AA_1 \cdot BB_1 \cdot CC_1}{AA_1 \cdot BB_1 \cdot CC_1 \cdot DD_1} - \frac{BB_1 \cdot CC_1 \cdot DD_1}{AA_1 \cdot BB_1 \cdot CC_1 \cdot DD_1} $$

После сокращения дробей получаем:

$$ \frac{1}{CC_1} - \frac{1}{BB_1} = \frac{1}{DD_1} - \frac{1}{AA_1} $$

Перегруппируем члены, чтобы получить требуемое равенство:

$$ \frac{1}{AA_1} + \frac{1}{CC_1} = \frac{1}{BB_1} + \frac{1}{DD_1} $$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.