Номер 1244, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1244. Точка G на отрезке $DM$, где $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$, выбрана так, что $DG = 3GM$. Плоскость, проходящая через точку $G$, пересекает прямые $DA, DB, DC$ в точках $A_1, B_1, C_1$ соответственно. Докажите, что выполняется равенство $\frac{AA_1}{DA_1} + \frac{BB_1}{DB_1} + \frac{CC_1}{DC_1} = 1$, в отношениях которого учитываются направления отрезков.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Поместим начало координат в точку $D$. Обозначим векторы $\vec{DA} = \vec{a}$, $\vec{DB} = \vec{b}$ и $\vec{DC} = \vec{c}$. Эти три некомпланарных вектора образуют базис в пространстве.

Точка $M$ является точкой пересечения медиан (центроидом) треугольника $ABC$. Ее радиус-вектор относительно точки $D$ выражается как среднее арифметическое радиус-векторов вершин треугольника:

$\vec{DM} = \frac{1}{3}(\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC}) = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

Точка $G$ лежит на отрезке $DM$, и по условию $DG = 3GM$. Это означает, что векторы $\vec{DG}$ и $\vec{GM}$ сонаправлены. Выразим вектор $\vec{DG}$ через $\vec{DM}$:

$\vec{DM} = \vec{DG} + \vec{GM}$

Поскольку $\vec{GM} = \frac{1}{3}\vec{DG}$, то

$\vec{DM} = \vec{DG} + \frac{1}{3}\vec{DG} = \frac{4}{3}\vec{DG}$

Отсюда $\vec{DG} = \frac{3}{4}\vec{DM}$. Подставим выражение для $\vec{DM}$:

$\vec{DG} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \frac{1}{4}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

Плоскость, проходящая через точку $G$, пересекает прямые $DA$, $DB$, $DC$ в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ соответственно. Так как точка $A_1$ лежит на прямой $DA$, ее радиус-вектор коллинеарен вектору $\vec{DA}$:

$\vec{DA_1} = k_a \vec{DA} = k_a \vec{a}$ для некоторого скаляра $k_a$.

Аналогично для точек $B_1$ и $C_1$:

$\vec{DB_1} = k_b \vec{DB} = k_b \vec{b}$

$\vec{DC_1} = k_c \vec{DC} = k_c \vec{c}$

Точки $A_1, B_1, C_1, G$ лежат в одной плоскости. Это означает, что вектор $\vec{DG}$ можно выразить как линейную комбинацию векторов $\vec{DA_1}$, $\vec{DB_1}$ и $\vec{DC_1}$ с коэффициентами, сумма которых равна 1 (условие компланарности четырех точек, одна из которых - начало координат):

$\vec{DG} = \alpha \vec{DA_1} + \beta \vec{DB_1} + \gamma \vec{DC_1}$, где $\alpha + \beta + \gamma = 1$.

Подставим известные выражения для векторов:

$\frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c} = \alpha (k_a \vec{a}) + \beta (k_b \vec{b}) + \gamma (k_c \vec{c})$

Так как векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ образуют базис, мы можем приравнять коэффициенты при них:

$\alpha k_a = \frac{1}{4} \implies \alpha = \frac{1}{4k_a}$

$\beta k_b = \frac{1}{4} \implies \beta = \frac{1}{4k_b}$

$\gamma k_c = \frac{1}{4} \implies \gamma = \frac{1}{4k_c}$

Теперь используем условие $\alpha + \beta + \gamma = 1$:

$\frac{1}{4k_a} + \frac{1}{4k_b} + \frac{1}{4k_c} = 1$

Умножив обе части на 4, получим важное соотношение:

$\frac{1}{k_a} + \frac{1}{k_b} + \frac{1}{k_c} = 4$

Теперь рассмотрим левую часть доказываемого равенства. Учитывая, что в отношениях учитываются направления отрезков, выразим каждое слагаемое через найденные коэффициенты. В задаче, вероятно, имеется опечатка, и доказываемое равенство должно выглядеть как $\frac{A_1A}{DA_1} + \frac{B_1B}{DB_1} + \frac{C_1C}{DC_1} = 1$. Докажем его.

Отношение направленных отрезков $\frac{A_1A}{DA_1}$ равно отношению соответствующих векторов $\frac{\vec{A_1A}}{\vec{DA_1}}$:

$\vec{A_1A} = \vec{DA} - \vec{DA_1} = \vec{a} - k_a\vec{a} = (1 - k_a)\vec{a}$

Тогда:

$\frac{A_1A}{DA_1} = \frac{(1-k_a)\vec{a}}{k_a\vec{a}} = \frac{1-k_a}{k_a} = \frac{1}{k_a} - 1$

Аналогично для двух других слагаемых:

$\frac{B_1B}{DB_1} = \frac{1}{k_b} - 1$

$\frac{C_1C}{DC_1} = \frac{1}{k_c} - 1$

Просуммируем эти три выражения:

$\frac{A_1A}{DA_1} + \frac{B_1B}{DB_1} + \frac{C_1C}{DC_1} = \left(\frac{1}{k_a} - 1\right) + \left(\frac{1}{k_b} - 1\right) + \left(\frac{1}{k_c} - 1\right) = \left(\frac{1}{k_a} + \frac{1}{k_b} + \frac{1}{k_c}\right) - 3$

Подставим ранее найденное значение суммы $\frac{1}{k_a} + \frac{1}{k_b} + \frac{1}{k_c} = 4$:

$4 - 3 = 1$

Таким образом, равенство выполняется, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.