Номер 1228, страница 167 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1228. Точка K плоскости треугольника ABC выбрана так, что $x \cdot \vec{KA} + y \cdot \vec{KB} + z \cdot \vec{KC} = \vec{0}$. Определите, где находится такая точка L, что $yz \cdot \vec{LA} + xz \cdot \vec{LB} + xy \cdot \vec{LC} = \vec{0}$.

Для решения данной задачи воспользуемся понятием барицентра (центра масс) системы точек. Точка $P$ является барицентром точек $A_1, A_2, \dots, A_n$ с массами (коэффициентами) $m_1, m_2, \dots, m_n$, если выполняется векторное равенство:

$m_1 \cdot \vec{PA_1} + m_2 \cdot \vec{PA_2} + \dots + m_n \cdot \vec{PA_n} = \vec{0}$.

1. Анализ положения точки K.

Из условия задачи нам дано равенство:

$x \cdot \vec{KA} + y \cdot \vec{KB} + z \cdot \vec{KC} = \vec{0}$.

Согласно определению, это означает, что точка $K$ является барицентром вершин треугольника $A, B, C$ с массами $x, y, z$ соответственно.

2. Анализ положения точки L.

Для точки $L$ дано другое равенство:

$yz \cdot \vec{LA} + xz \cdot \vec{LB} + xy \cdot \vec{LC} = \vec{0}$.

Это означает, что точка $L$ является барицентром вершин треугольника $A, B, C$ с массами $yz, xz, xy$.

Чтобы лучше понять связь между коэффициентами для точек $K$ и $L$, разделим все коэффициенты для точки $L$ на произведение $xyz$ (предполагая, что $x, y, z \ne 0$). Равенство при этом не нарушится:

$\frac{yz}{xyz} \cdot \vec{LA} + \frac{xz}{xyz} \cdot \vec{LB} + \frac{xy}{xyz} \cdot \vec{LC} = \vec{0}$

$\frac{1}{x} \cdot \vec{LA} + \frac{1}{y} \cdot \vec{LB} + \frac{1}{z} \cdot \vec{LC} = \vec{0}$

Таким образом, точка $L$ является барицентром вершин треугольника $A, B, C$ с массами $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$.

3. Геометрическая интерпретация.

В геометрии треугольника точка с барицентрическими координатами $(\frac{1}{x} : \frac{1}{y} : \frac{1}{z})$ называется изотомически сопряженной точке с координатами $(x : y : z)$. Таким образом, точка $L$ является изотомически сопряженной точке $K$ относительно треугольника $ABC$.

Местоположение точки $L$ можно определить следующим геометрическим построением:

• Проведем через вершины $A, B, C$ и точку $K$ прямые (чевианы) до пересечения с противолежащими сторонами $BC, AC, AB$ в точках $A_K, B_K, C_K$ соответственно.
• На сторонах $BC, AC, AB$ найдем точки $A_L, B_L, C_L$, которые симметричны точкам $A_K, B_K, C_K$ относительно середин этих сторон. (Например, если $M_a$ – середина $BC$, то $A_K M_a = M_a A_L$).
• Прямые (чевианы) $AA_L, BB_L, CC_L$ пересекутся в одной точке. Эта точка и есть искомая точка $L$.

Известным свойством изотомического сопряжения является то, что точка $P$, ее изотомически сопряженная точка $P'$ и центроид (точка пересечения медиан) треугольника лежат на одной прямой. Следовательно, точка $L$ лежит на прямой, проходящей через точку $K$ и центроид треугольника $ABC$.

Ответ: Точка $L$ является изотомически сопряженной точке $K$ относительно треугольника $ABC$. Она лежит на прямой, соединяющей точку $K$ и центроид треугольника $ABC$.