Номер 1227, страница 167 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1227. Точки M и N на сторонах AD и BC четырехугольника ABCD выбраны так, что AM : MD = BN : NC = p : q. Докажите, что

$ \vec{MN} = \frac{q \cdot \vec{AB} + p \cdot \vec{DC}}{q+p} $

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Выразим вектор $\vec{MN}$ через векторы сторон четырехугольника.

Представим вектор $\vec{MN}$ по правилу многоугольника, используя два разных пути от точки M до точки N:
1) $\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AB} + \vec{BN}$
2) $\vec{MN} = \vec{MD} + \vec{DC} + \vec{CN}$

Из условия задачи известно, что точки $M$ и $N$ делят стороны $AD$ и $BC$ в отношении $p:q$. Это означает:
$AM : MD = p : q \implies q \cdot \vec{AM} = p \cdot \vec{MD}$
$BN : NC = p : q \implies q \cdot \vec{BN} = p \cdot \vec{NC}$

Умножим первое уравнение для $\vec{MN}$ на $q$, а второе на $p$:
$q \cdot \vec{MN} = q \cdot \vec{MA} + q \cdot \vec{AB} + q \cdot \vec{BN}$
$p \cdot \vec{MN} = p \cdot \vec{MD} + p \cdot \vec{DC} + p \cdot \vec{CN}$

Сложим эти два равенства:
$(q + p) \cdot \vec{MN} = (q \cdot \vec{MA} + p \cdot \vec{MD}) + q \cdot \vec{AB} + p \cdot \vec{DC} + (q \cdot \vec{BN} + p \cdot \vec{CN})$

Рассмотрим выражения в скобках.
Так как $\vec{MA} = -\vec{AM}$, из $q \cdot \vec{AM} = p \cdot \vec{MD}$ следует, что $q \cdot (-\vec{MA}) = p \cdot \vec{MD}$, или $-q \cdot \vec{MA} = p \cdot \vec{MD}$. Отсюда $q \cdot \vec{MA} + p \cdot \vec{MD} = \vec{0}$.
Аналогично, $\vec{CN} = -\vec{NC}$. Из $q \cdot \vec{BN} = p \cdot \vec{NC}$ следует, что $q \cdot \vec{BN} = p \cdot (-\vec{CN})$, или $q \cdot \vec{BN} + p \cdot \vec{CN} = \vec{0}$.

Подставив нулевые векторы в суммарное уравнение, получим:
$(q + p) \cdot \vec{MN} = \vec{0} + q \cdot \vec{AB} + p \cdot \vec{DC} + \vec{0}$
$(q + p) \cdot \vec{MN} = q \cdot \vec{AB} + p \cdot \vec{DC}$

Разделив обе части равенства на $(q+p)$, получим искомую формулу:
$\vec{MN} = \frac{q \cdot \vec{AB} + p \cdot \vec{DC}}{q + p}$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $\vec{MN} = \frac{q \cdot \vec{AB} + p \cdot \vec{DC}}{q + p}$.