Номер 1, страница 165 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

19.1. На отрезок $[-2; 2]$ бросают случайную точку. Какова вероят-ность того, что ее координата будет:

а) положительной;

б) больше 1;

в) больше $\frac{1}{2}$?

Данная задача относится к геометрической вероятности. Вероятность события A определяется как отношение меры (в данном случае длины) области, благоприятствующей событию, к мере всей области возможных исходов.

Область возможных исходов — это отрезок $[-2; 2]$. Найдем его длину $L$:
$L = 2 - (-2) = 4$.

Вероятность $P$ того, что координата случайной точки попадет в некоторый подинтервал длиной $l$ внутри отрезка $[-2; 2]$, вычисляется по формуле:
$P = \frac{l}{L} = \frac{l}{4}$

а) положительной;
Событие заключается в том, что координата точки $x$ положительна, то есть $x > 0$. В рамках отрезка $[-2; 2]$ этому условию удовлетворяет интервал $(0; 2]$.
Длина этого интервала $l_a = 2 - 0 = 2$.
Вероятность этого события:
$P_a = \frac{l_a}{L} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) больше 1;
Событие заключается в том, что координата точки $x$ больше 1, то есть $x > 1$. В рамках отрезка $[-2; 2]$ этому условию удовлетворяет интервал $(1; 2]$.
Длина этого интервала $l_b = 2 - 1 = 1$.
Вероятность этого события:
$P_b = \frac{l_b}{L} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

в) больше $\frac{1}{2}$?
Событие заключается в том, что координата точки $x$ больше $\frac{1}{2}$, то есть $x > \frac{1}{2}$. В рамках отрезка $[-2; 2]$ этому условию удовлетворяет интервал $(\frac{1}{2}; 2]$.
Длина этого интервала $l_c = 2 - \frac{1}{2} = 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
Вероятность этого события:
$P_c = \frac{l_c}{L} = \frac{\frac{3}{2}}{4} = \frac{3}{2 \cdot 4} = \frac{3}{8}$.
Ответ: $\frac{3}{8}$.